Théorème de convergence monotone

Théorème de théorie de l'intégration de Lebesgue

En mathématiques, le théorème de convergence monotone (ou théorème de Beppo Levi) est un théorème important de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Dans les ouvrages, on le présente en général dans une suite de trois résultats, avec le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée, car ces deux derniers s'en déduisent.

Ce théorème indique que la convergence simple vers f d'une suite croissante de fonctions mesurables positives implique la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de f.

Le théorème autorise donc, pour une telle suite de fonctions, à intervertir le symbole d'intégration et celui de passage à la limite. De façon équivalente, il permet, pour une série de fonctions mesurables positives, de permuter les deux symboles et .

ÉnoncéModifier

Soit   un espace mesuré. Pour toute suite croissante   de fonctions mesurables sur E et à valeurs dans [0, +∞], la limite simple de la suite est mesurable et l'on a :

 .

Comme corollaire important, si les intégrales   sont toutes majorées par un même réel, alors la fonction   est intégrable, donc finie presque partout, et on peut exprimer le résultat en disant que la suite   converge vers   pour la norme L1.

On peut aussi exprimer le théorème en utilisant, au lieu d'une suite croissante, une série de fonctions mesurables   à valeurs positives ou nulles. Le théorème dit que l'on a toujours

 

Le corollaire se traduit alors par : si la série des intégrales converge, alors la série des   est intégrable donc finie presque partout, c'est-à-dire que pour presque tout  , la série   converge.

DémonstrationModifier

HistoireModifier

Au début du XXe siècle, une nouvelle théorie de l'intégration apparaît sous la forme d'un article de Lebesgue, « Sur une généralisation de l'intégrale définie », publié dans les Comptes Rendus du . Cet article fascine rapidement la communauté mathématique. En 1906, le mathématicien italien Beppo Levi (1875-1961) démontre le théorème de la convergence monotone qui porte en conséquence parfois le nom de théorème de Beppo Levi.

RemarquesModifier

Convergence simpleModifier

Une fonction non élémentaire en mathématiques est souvent construite comme limite d'une suite et plus généralement d'une série. Ces fonctions sont par exemple obtenues par une construction de type série entière ou par les méthodes de l'analyse harmonique.

Parfois, cette série converge « bien ». Par « bien » converger, on entend la convergence au sens d'une topologie « forte » ou d'une « bonne » distance. Par exemple, la distance de la convergence uniforme qui indique qu'une section finissante de la suite se trouve dans une bande de largeur aussi petite que l'on veut.

Malheureusement, une convergence forte est rare. Par exemple, la suite des polynômes (xn) sur l'intervalle [0, 1] ne converge pas uniformément. Un critère de convergence peu contraignant est la convergence simple, qui indique uniquement qu'en chaque point les fonctions convergent. La régularité de la convergence n'est pas assurée. Si le critère de convergence est peu contraignant, il offre hélas des propriétés peu enrichissantes. C'est le cas de notre exemple (xn) qui, sur [0, 1] converge simplement vers la fonction indicatrice du singleton {1}.

Convergence presque partoutModifier

Presque partout signifie que la propriété est vraie en chaque point sauf peut-être sur un ensemble de mesure nulle. En effet, le comportement d'une fonction est invariant pour l'intégrale de Lebesgue si la fonction n'est modifiée que sur un ensemble de mesure nulle.

Séries doublesModifier

Dans le cas particulier où l'espace mesuré est muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à termes positifs.

Intérêt du théorèmeModifier

L'aspect remarquable de la théorie de Lebesgue est qu'un critère de convergence faible suffit néanmoins sous certaines hypothèses pour assurer une bonne convergence, la convergence dans L1(E). Ce résultat est donc indispensable pour l'étude d'espaces de fonctions comme l'espace des séries entières, des fonctions harmoniques ou des espaces de Hardy ou de Sobolev.

Le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée peuvent être établis en utilisant le théorème de convergence monotone. Ce théorème est aussi utilisé pour construire les mesures à densité et pour démontrer le théorème de Fubini.

Non-validité dans le cadre de la théorie de RiemannModifier

Considérons l'exemple suivant : à partir d'une énumération de tous les rationnels compris entre 0 et 1, on définit la fonction fn (pour tout entier naturel n) comme l'indicatrice de l'ensemble des n premiers termes de cette suite de rationnels. La suite croissante des fonctions fn (positives et d'intégrale de Riemann nulle) converge alors simplement vers l'indicatrice de ℚ, qui n'est pas Riemann-intégrable.

Nécessité de l'hypothèse de positivitéModifier

L'exemple de la suite de fonctions   définies sur   par   montre que la condition de positivité des   est nécessaire.

Liens externesModifier