Utilisateur:Quarantedeux/Brouillon1

Mathématiques

Cas général

Espace vectoriel orienté

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. On note $E^{\ast }$ l’espace vectoriel des formes linéaires sur $E$. La forme bilinéaire canonique $\langle \cdot |\cdot \rangle$ est définie sur $E^{\ast }\times E$ par $\langle u|x\rangle =u(x)$.

Pour $1<p\leqslant n$, on note $A^{p}(E)$ l’espace vectoriel des p-formes extérieures sur $E$ c’est-à-dire des formes p-linéaires antisymétriques. Cet espace est de dimension ${\tbinom {n}{p}}$. On note aussi $A^{0}(E)=\mathbb {R}$ et $A^{1}(E)=E^{\ast }$. Sur l’ensemble des formes extérieures, on définit le produit extérieur $\wedge$ tel que si $\alpha \in A^{p}(E)$ et $\beta \in A^{q}(E)$ alors $\alpha \wedge \beta \in A^{p+q}(E)$. Le produit extérieur $\wedge$ est associatif et anticommutatif : $\alpha \wedge \beta =(-1)^{pq}\beta \wedge \alpha$. Ceci munit $A(E)=\bigoplus _{p=0}^{n}A^{p}(E)$ d'une structure d'algèbre extérieure et (à un isomorphisme près) $A(E)=\Lambda (E^{\ast })$. On peut échanger les rôles de $E$ et $E^{\ast }$ mais dans le cas d'un espace euclidien cette distinction n'a plus lieu d'être.

Une forme volume sur $E$ est un élément non nul de $A^{n}(E)$. Comme cet espace est de dimension 1, la relation d’équivalence définie sur $A^{n}(E)\setminus \{0\}$ par

$\eta _{1}\ \sim \eta _{2}\iff \exists \lambda >0\quad \eta _{2}=\lambda \,\eta _{1}$

permet de définir deux classes d’équivalence appelées orientations de $E$ et notées ici $X$ et ${\overline {X}}$ (on peut utiliser d’autres symboles comme $X$ et $-X$). Sur l’espace vectoriel $E$ on ne peut donc construire que deux espaces vectoriels orientés notés $(E,X)$ et $(E,{\overline {X}})$.

Espace euclidien

Soit $(E,G)$ un espace euclidien où $E$ est un espace vectoriel et $G$ un produit scalaire sur $E$. Pour $x\in E$ donné on note provisoirement $x^{*}$ la forme linéaire définie par $t\mapsto G(x,t)$. On a donc

$\langle x^{*}|t\rangle =G(x,t)$

L’application $x\mapsto x^{*}$ est un isomorphisme de $E$ sur $E^{\ast }$ que l’on peut qualifier de canonique. Par la suite on convient d’identifier (conformément à l’usage) $x^{*}$ et $x$ par cet isomorphisme. Par conséquent si $x$ est un vecteur, il peut aussi bien être considéré comme un élément de $E$ qu’un élément de $E^{\ast }$. L’égalité précédente devient

$\langle x|t\rangle =G(x,t)$

ce qui conduit à identifier le produit scalaire $G$ avec $\langle \cdot |\cdot \rangle$.

Espace euclidien orienté

Soit $(E,G,X)$ un espace euclidien orienté où $E$ est un espace vectoriel, $G$ un produit scalaire sur $E$ et $X$ une orientation de $E$. Il existe une et une seule forme volume $\omega \in X$ vérifiant $|\omega (B)|=1$ pour une (et donc pour toute) base orthonormale $B$ de $E$. Cette forme volume porte aussi le nom de pseudo-scalaire unité, produit mixte, tenseur d'orientation, tenseur de Levi-Civita.

Par la suite, l'espace euclidien orienté $(E,G,X)$ sera noté $(E,G,\omega )$. Sur l’espace euclidien $(E,G)$ on ne peut donc construire que deux espaces euclidiens orientés notés ${\mathcal {E}}=(E,G,\omega )$ et ${\overline {\mathcal {E}}}=(E,G,{\overline {\omega }})$ avec ${\overline {\omega }}=-\omega$. Tous les développements ultérieurs sont faits dans ${\mathcal {E}}$ et on notera $x\centerdot y=G(x,y)$.

Remarque : Tout espace euclidien orienté de dimension $n$ est isomorphe (d'une infinité de manières) à $\mathbb {R} ^{n}$ muni de son produit scalaire canonique et de son orientation canonique.

Cas de la dimension 3

Produit vectoriel

Pour $x\in E$ et $y\in E$ deux vecteurs donnés, il existe un vecteur unique de $E$ noté $x\times y$ vérifiant pour tout vecteur $t\in E$

$\omega (x,y,t)=(x\times y)\centerdot t$

On établit la formule dite du double produit vectoriel

$x\times (y\times z)=(x\centerdot z)y-(x\centerdot y)z$

qui montre que $\times$ n’est pas associatif.

Forme bilinéaire alternée

On montre de même qu’à toute 2-forme extérieure $\alpha \in A^{2}(E)$ est associé un vecteur unique de $E$ noté $\star \alpha$ vérifiant pour tout $x\in E$ et tout $y\in E$

$\alpha (x,y)=\omega (x,y,\star \alpha )$

Soit $u$ et $v$ deux vecteurs. En tant que vecteurs de $E^{\ast }$ on a $u\wedge v\in A^{2}(E)$ et en tant que vecteurs de $E$ on a $u\times v\in E$. On peut alors montrer que (identité de Binet-Cauchy) :

$\star (u\wedge v)=u\times v$

c’est-à-dire que pour tout $x\in E$ et tout $y\in E$

$(u\wedge v)(x,y)=(u\times v)\centerdot (x\times y)$

Dans ce cas simple, on remarque que l’opérateur $\star$ coïncide avec l’opérateur étoile de Hodge.

Coordonnées dans une base

On a volontairement introduit les bases le plus tard possible pour insister sur le fait que les notions ci-dessus en sont complètement indépendantes. Cela ne remet pas en cause leur utilité. Sauf mention du contraire, les coordonnées sont données dans une base $B=(e_{1},\dotsc ,e_{n})$ quelconque.

Base directes et rétrogrades

Soit $(E,X)$ un espace vectoriel orienté et $B$ une base de $E$. Dans cet espace la base est directe si $\eta (B)>0$ pour une (et donc pour toute) forme volume $\eta \in X$ non nulle. Elle est rétrograde (ou indirecte) sinon. Une base directe dans $(E,X)$ est donc rétrograde dans $(E,{\overline {X}})$ et inversement. Réciproquement, pour une base donnée, il n’existe qu’une seule orientation pour laquelle cette base est directe.

Remarque : Cette définition aurait pu être donnée dès le tout début. Par la suite, les définitions sont données dans ${\mathcal {E}}=(E,G,\omega )$ mais il est facile de reconnaître celles qui sont encore valables avec une structure plus légère.

Base duale

Soit $B=(e_{1},\dotsc ,e_{n})$ une base de $E$. On note $B^{\ast }=(e^{\ast 1},\dotsc ,e^{\ast n})$ la base duale de $E^{\ast }$ définie par $<{e^{\ast j}}|{e_{i}}>=\delta _{i}^{j}$ où $\delta _{i}^{j}$ est le tenseur de Kronecker. Pour tout vecteur $u$, les relations $u=u^{i}e_{i}$ et $u=u_{i}e^{\ast i}$ déterminent respectivement ses coordonnées contravariantes et covariantes.

Si $B'=(e'_{1},\dotsc ,e'_{n})$ est une autre base définie par $e'_{i}=a_{i}^{j}e_{j}$ on note $a=(a_{i}^{j})$ la matrice de changement de base et $b=(b_{i}^{j})$ sa matrice inverse. Les formules de changement de base sont $e'^{\ast i}=b_{j}^{i}e^{\ast j}$, $u'_{i}=a_{i}^{j}u_{j}$ et $u'^{i}=b_{j}^{i}u^{j}$.

Tenseur métrique

Les coordonnées covariantes du tenseur métrique sont $g_{ij}=e_{i}\centerdot e_{j}$. Ses coordonnées contravariantes $g^{ij}$ sont définies par la relation $g_{ik}g^{kj}=\delta _{i}^{j}$ (matrice inverse). Si on note $g=\det(g_{ij})$ on a donc $\det(g^{ij})=1/g$.

Entre une base et sa base duale, on a les relations $e^{\ast i}=g^{ij}e_{j}$ et $e_{i}=g_{ij}e^{\ast j}$.

Les coordonnées covariantes et contravariantes d'un vecteur $u$ sont liées par les relations $u_{i}=u\centerdot e_{i}=g_{ij}u^{j}$ et réciproquement par $u^{i}=g^{ij}u_{j}$. On a donc $x\centerdot y=g_{ij}x^{i}y^{j}=x_{i}y^{i}=x^{i}y_{i}$.

Les formules de changement de base sont $g'_{ij}=a_{i}^{p}a_{j}^{q}g_{pq}$ pour les coordonnées covariantes, $g'^{ij}=b_{p}^{i}b_{q}^{j}g^{pq}$ pour les coordonnées contravariantes et donc $g'=(\det a)^{2}g$ pour le déterminant.

Tout ceci est encore valable dans le cas d'une pseudo-métrique où il est alors possible d'avoir $g<0$.

Maille

La maille de la base $B$ est $\omega (B)=\omega (e_{1},\dotsc ,e_{n})=\omega _{1\cdots n}$. Formule de changement de base : $\omega (B')=(\det a)\omega (B)$. On a donc $\omega (B)=(-1)^{B}{\sqrt {|g|}}$ où $(-1)^{B}$ est le symbole égal à 1 si $B$ est directe et -1 sinon.

En dimension 3

Soit $B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ une base de $E$. Le volume du parallélépipède construit avec les vecteurs $e_{1},e_{2},e_{3}$ est donné par $|\omega (B)|=|\omega _{123}|$.

Soit $x$, $y$ deux vecteurs et $z=x\times y$. On a $z_{k}=\omega _{ijk}x^{i}y^{j}$ ce qui donne

$z_{1}=\omega (B)(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2})$

$z_{2}$ et $z_{3}$ étant obtenus par permutation circulaire.

Si la base est orthonormale alors $g_{ij}=\delta _{ij}$ et donc $z^{i}=z_{i}$. Si de plus la base est directe alors $\omega (B)=1$ et on retrouve les formules usuelles.

Remarque : Les coordonnées de $x\wedge y$ dans la base $(e_{2}\wedge e_{3},e_{3}\wedge e_{1},e_{1}\wedge e_{2})$ sont égales aux coordonnées de $x\times y$ dans la base $(e_{2}\times e_{3},e_{3}\times e_{1},e_{1}\times e_{2})$. Cependant $x\wedge y$ est rapporté à sa base "naturelle", ce qui n'est pas le cas de $x\times y$.

Physique élémentaire

A un niveau élémentaire, le modèle utilisé pour décrire le cadre dans lequel se déroulent les phénomènes physiques est l'espace affine euclidien de dimension 3. Bien que l'orientation de l'espace ne semble jouer ici aucun rôle, la physique définit des intermédiaires de calcul utilisant cette notion. Par exemple, le vecteur instantané de rotation permet de calculer des vitesses, le vecteur champ magnétique de calculer des forces, etc. Ces intermédiaires ne sont pas indispensables et d'autres peuvent les remplacer. Ainsi en utilisant comme modèle l'espace-temps de Minkowski de dimension 4, le tenseur électromagnétique remplace avantageusement les vecteurs champ électrique et champ magnétique.

Les notions classiques

Orientation de l'espace et des bases

On convient que toute base vérifiant la règle de la main droite est directe et cette convention oriente l'espace : on dit que l'espace est orienté à droite. Ce choix est complètement transparent au niveau des calculs et ne se manifeste que sur les dessins.

Les coordonnées d'un tenseur sont toujours données dans une base directe (sauf mention du contraire). Cette précision est le plus souvent omise, car considérée comme allant de soi. Faute de mieux, j'appelle la forme particulière de ces coordonnées des coordonnées standard (vocabulaire personnel), pour les distinguer de celles exprimées dans une base quelconque. Cette distinction ne se manifeste (lorsque la base est rétrograde) que sur la forme volume et les tenseurs définis avec : dans ce cas les coordonnées standard sont les opposées des vraies coordonnées.

Tenseur de Levi-Civita

C'est un tenseur essentiel, au centre de la notion d'orientation. Il porte différents noms : tenseur d'orientation, tenseur dualiseur, produit mixte, pseudo-scalaire unité.

C'est la forme volume canonique notée jusqu'ici $\omega$. On peut exprimer les coordonnées de ce tenseur à l'aide du symbole de Levi-Civita (d'où le nom du tenseur). Ses coordonnées standard sont

$\omega _{i_{1}\cdots i_{n}}={\sqrt {|g|}}\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}$

Par exemple, dans une base orthonormale directe, on a $\omega (B)=\omega _{123}=\omega ^{123}=1$ (dans un espace euclidien de dimension 3) et $\omega (B)=\omega _{0123}=-\omega ^{0123}=1$ (dans l'espace pseudo-euclidien de Minkowski).

Si dans une discussion théorique on fait intervenir une base $B$ pouvant être rétrograde, il faut utiliser la formule complète

$\omega _{i_{1}\cdots i_{n}}=(-1)^{B}{\sqrt {|g|}}\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}$

et non la formule standard, sous peine d'erreur.

Tenseur et coordonnées

Lors d'un changement de base, les coordonnées d'un tenseur vérifient des relations bien déterminées. Réciproquement des quantités indicées qui vérifient ces mêmes relations peuvent être considérées comme les coordonnées d'un tenseur.

Il y a en outre deux propriétés (parmi d'autres) qui sont bien pratiques pour définir des tenseurs et démontrer des égalités :

1. Si les coordonnées d'un tenseur sont nulles dans une base particulière (par exemple orthonormale directe), ce tenseur est nul.

2. Des quantités indicées peuvent être considérées comme les coordonnées d'un tenseur si leur produit tensoriel contracté avec les coordonnées d'un tenseur donnent les coordonnées d'un tenseur.

Remarque : Ces propriétés sont encore valables avec les coordonnées standard.

Transformation passive/active

Une transformation est passive si c'est un changement de base, active si c'est une transformation au sens mathématique du terme. Il ne faut pas confondre les deux sous peine d'erreur. Par conséquent si la transformation est définie à l'aide des coordonnées, il faut en indiquer clairement la nature et éviter toute proposition ambiguë et/ou trop subtile.

Exemple : Soit $x$ et $y$ deux vecteurs et $z=x\times y$. Dans la nouvelle base définie par $e'_{i}=-e_{i}$, les coordonnées des vecteurs $x$ et $y$ sont $x'^{i}=-x^{i}$ et $y'^{i}=-y^{i}$. Comme $\omega (B')=\omega (e'_{1},e'_{2},e'_{3})=-\omega (B)$ on obtient bien $z'_{i}=-z_{i}$ conformément au fait que $z$ est un vecteur. Par contre, on n'a pas $(-x)\times (-y)=(-z)$.

Pseudo-tenseur

Par abus d'écriture et de langage, les tenseurs sont souvent désignés par leurs coordonnées dans une base quelconque. Au lieu de dire le tenseur «dont les coordonnées sont …  », on dira par exemple, le vecteur (covariant) $x_{i}$ ou le tenseur métrique $g_{ij}$.

Qui plus est, les tenseurs sont même le plus souvent désignés par leurs coordonnées dans une base directe (coordonnées standard), ce qui constitue un double abus de langage.

Si on restreint la généralité sur les bases, (essentiellement les bases directes ou bien les bases orthonormales directes), les coordonnées d'un tenseur peuvent se simplifier. Ces coordonnées simplifiées se comportent « presque » comme les coordonnées d'un tenseur. Presque, car tous les changements de bases ne sont pas autorisés : on dit que ce sont les coordonnées d'un pseudo-tenseur.

Comme les opérations de calcul tensoriel et de simplification sont permutables, il est équivalent (et plus simple) de faire les calculs avec les coordonnées simplifiées. En pratique on peut même définir un pseudo-tenseur, à l'aide d'autres pseudo-tenseurs, sans avoir à définir le tenseur lui-même. Un pseudo-tenseur n'est donc pas un objet mathématique mais une commodité. Exemples :

1. Le pseudo-tenseur $\delta _{ij}$ (le symbole de Kronecker) qui coïncide avec le tenseur métrique dans les bases orthonormales. A ne pas confondre avec le tenseur de Kronecker $\delta _{i}^{j}$ (qui comme son nom l'indique est un tenseur).

2a. Le pseudo-tenseur $\epsilon _{i_{1}\cdots i_{N}}$ (le symbole de Levi-Civita) qui coïncide avec le tenseur de Levi-Civita dans les bases orthonormales directes.

2b. Le pseudo-tenseur ${\sqrt {|g|}}\epsilon _{i_{1}\cdots i_{N}}$ qui coïncide avec le tenseur de Levi-Civita dans les bases directes. Ses coordonnées sont les coordonnées standard du tenseur : l'usage fait que ce pseudo-tenseur est appelé tenseur.

Tenseur polaire/axial

Un tenseur est polaire s'il ne dépend pas de l'orientation de l'espace, axial s'il est changé en son opposé lorsque l'on change l'orientation de l'espace. Un tenseur axial est un tenseur et non un pseudo-tenseur.

Lorsque l'on change l'orientation de l'espace, on change la définition du tenseur axial : ce n'est donc plus le même tenseur et en toute rigueur il ne devrait pas porter le même nom. Plus précisément, notons $X$ et $-X$ les deux orientations de l'espace. Soit $t(X)$ un tenseur dépendant a priori de $X$. Le tenseur $t$ est polaire si $t(-X)=t(X)$ et axial si $t(-X)=-t(X)$.

Exemples :

-- Les vecteurs de position et de vitesse sont polaires.

-- Le produit vectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial.

Remarque : En pratique, l'orientation droite de l'espace est fixée et on n'a jamais besoin d'utiliser cette notation fonctionnelle. Cependant, dans certain débats, elle peut avoir son utilité. Par exemple, l'égalité vectorielle $u=v$ avec $u$ vecteur axial et $v$ vecteur polaire peut paraître paradoxale. En fait elle signifie que

$u(X)=v(X)$ $u(-X)=-u(X)=-v(X)=-v(-X)$

c'est-à-dire $u=v$ pour l'orientation $X$ et $u=-v$ pour l'orientation $-X$.

Les sources de confusion

Il y a (principalement) quatre sources de confusions possibles.

1. Confondre une transformation passive avec une transformation active,

2. Confondre orientation de l'espace et orientation des bases,

3. Confondre un pseudo-vecteur avec un pseudo-tenseur,

4. Identifier le bivecteur $u\wedge v$ (produit extérieur) avec son dual de Hodge $u\times v$ (produit vectoriel). De ce point de vue la notation franco-française pour le produit vectoriel est parfaite !

À part le point 1, tout ceci est sans incidence dans la pratique. En effet dans ce cas l’espace est orienté à droite (et on n'envisage pas de l'orienter à gauche), les bases sont toujours supposées directes et enfin, le produit vectoriel est rarement (jamais ?) utilisé en dehors des bases orthonormales directes. Par contre, dans les discussions théoriques, ce n'est pas la même chose.

Inversion des axes

On appelle ainsi le procédé qui à partir d'une base $B=(e_{1},e_{2},e_{3})$ fait correspondre la base $B'=(-e_{1},-e_{2},-e_{3})$. Si $B$ est directe alors $B'$ est rétrograde et réciproquement.

C'est un changement de bases (direct → rétrograde) très simple à utiliser dans les calculs. L'inversion d'un seul axe donne une symétrie par rapport à un plan : un peu moins simple, elle est cependant supérieure visuellement (reflet dans un miroir).

Une erreur trop souvent répandue dans les textes de physique (pardon, mais c'est vrai) est soit de dire clairement soit de laisser entendre que faire une inversion des axes change un vecteur en son opposé. C'est faux ! Que le vecteur soit polaire ou axial peu importe (les deux sont des vecteurs), le vecteur est invariant : ce sont ses coordonnées qui sont changées en leurs opposées. Cette erreur laisse à penser que l'on confond un vecteur avec un triplet de nombres !

L'inversion des axes est une transformation passive à ne pas confondre avec la transformation active qui à tout vecteur fait correspondre son opposé.

Test polaire/axial

Si on dispose d'une expression tensorielle, il suffit de remarquer la présence ou l'absence du tenseur de Levi-Civita pour savoir si un tenseur est axial ou non. Si on en dispose pas, un test peut être utile.

En outre, certaines définitions se présentent sous la forme d'un test dont l'utilisation conduit à des conclusions souvent surprenantes. La construction d’un test nous permettra de le comparer avec ceux existants et de comprendre comment ils peuvent conduire à de telles errances.

Dans un repère rétrograde, les coordonnées standard sont correctes pour un tenseur polaire et fausses pour un tenseur axial. En effet, lorsque l'on passe d’un repère direct à un repère rétrograde, la maille $\omega (B)=\omega _{1\cdots n}$ change de signe. Si on utilise les coordonnées standard, ce changement de signe n'a pas lieu et on obtient l'opposé du résultat correct. D'où

Test polaire/axial : On suppose qu'un tenseur est donné par ses coordonnées dans un repère direct (orthonormal ou non). Si le tenseur semble changé en son opposé lorsque l'on passe d’une base directe à une base rétrograde alors ce résultat montre, par l'absurde, que ce tenseur est axial ; s’il ne change pas alors il est polaire.

C'est une démonstration par l'absurde. Un tenseur même axial est un tenseur : il est donc indépendant des bases et a fortiori de leur orientation. Le fait de trouver un résultat absurde (il est changé en son opposé) montre que la prémisse est fausse. On en déduit que les coordonnées initiales sont fausses dans un repère rétrograde, ce qui n'arrive que pour les tenseurs axiaux. CQFD !

Si on supprime toutes les précautions oratoires (en supposant qu'elles vont de soi), on obtient : «  Si le tenseur est changé en son opposé lorsque l'on passe d’une base directe à une base rétrograde alors ce tenseur est axial ; s’il ne change pas alors il est polaire. »

Si on utilise le test sans le comprendre, on peut croire que le changement de base cause réellement un changement de signe, c'est-à-dire croire que le résultat final absurde est correct. Les commentaires sur la bizarrerie supposée du tenseur révèlent alors le pot aux roses ! Cette bizarrerie imaginaire sert même parfois de justificatif à l'emploi d'un "pseudo" qui est alors accolé au tenseur ou au vecteur de manière inappropriée.

Pseudo-vecteur

En algèbre tensorielle, le terme de vecteur est réservé à l'espace vectoriel $A^{1}(E)=E^{\ast }=E$. Les espaces $A^{p}(E)$ étant des espaces vectoriels, leurs éléments (qui sont donc des vecteurs au sens mathématique du terme) sont appelés (pour $p>1$) des p-vecteurs pour éviter toute confusion. Pour $p=0$ ce sont des scalaires.

Si $E$ est de dimension $n$, alors $A^{n-1}(E)$ est aussi de dimension $n$ et ses éléments sont appelés des pseudo-vecteurs. En dimension 3 les pseudo-vecteurs sont donc des bivecteurs et en dimension 4 ce sont des trivecteurs. L'expression quadrivecteur étant utilisé en relativité restreinte en situation de quasi-monopole avec une signification différente, il vaut mieux ne pas l'utiliser pour désigner un 4-vecteur.

Remarque : Tenseur étant la dénomination générale, on pourrait penser que pseudo-vecteur est un cas particulier de pseudo-tenseur : il n'en est rien ! Un pseudo-vecteur est bien un tenseur, seulement ce n'est pas un vecteur de $E^{\ast }=E$.

Confusion pseudo-vecteur/vecteur axial

En dimension 3, le dual de Hodge de $A^{2}(E)$ est $A^{1}(E)=E^{\ast }=E$ : à tout pseudo-vecteur est donc associé un vecteur. Comme cette dualité utilise la forme volume canonique, ce vecteur est axial (pas de changement par rapport à tenseur axial).

Dans une base orthonormale directe, les coordonnées du pseudo-vecteur et du vecteur axial sont les mêmes. Tant que l'on reste dans des bases orthonormales directes, il est sans conséquence d'identifier ces deux objets. Cependant comme l'un est un tenseur de rang 2 et l'autre un tenseur de rang 1, ils ne se transforment pas de la même manière dans un changement de base plus général : il est donc incorrect de les identifier par définition.

Questions : éléments de réponses

Question 1

Un pseudo-tenseur n'est pas un tenseur.

Un vecteur est un tenseur mais un pseudo-vecteur n'est pas un pseudo-tenseur : ce n'est donc pas le même pseudo.

Comme $A^{n}(E)$ est de dimension 1, il est isomorphe (en tant qu'espace vectoriel) à $\mathbb {R}$ et ses éléments sont appelés des pseudo-scalaires. C'est le même pseudo que dans pseudo-vecteur.

$(-1)^{B}$ est égal à 1 si la base $B$ est directe et -1 sinon. On dit que c'est un pseudo-scalaire. C'est le même pseudo que dans pseudo-tenseur : c'est même un cas particulier (pseudo-tenseur de rang 0).

Question 2

Bien sûr, la somme d'un vecteur axial et d'un vecteur polaire est sans signification physique. Mais si on s'amuse un peu :

Pour tout tenseur $u$ on note ${\overline {u}}$ le tenseur dans lequel on a remplacé le tenseur de Levi-Civita $\omega$ par le tenseur ${\overline {\omega }}=-\omega$ (s'il n'y figure pas, c'est facile !).

Avec ces notations, $u$ est polaire si ${\overline {u}}=u$ et axial si ${\overline {u}}=-u$. Par conséquent tout tenseur $u$ peut s'écrire $u=u_{p}+u_{a}$ où $u_{p}={\tfrac {1}{2}}(u+{\overline {u}})$ est polaire et $u_{a}={\tfrac {1}{2}}(u-{\overline {u}})$ est axial.