Utilisateur:Mimie-Particule/Bac a sable
Un processus de Poisson composé, nommé d'après le mathématicien français Siméon Denis Poisson, est un processus stochastique à temps continu, continu à droite limité à gauche (Càdlàg). C'est en particulier un processus de Lévy.
Définition modifier
Un proccesus de Poisson composé est un proccesus aléatoire indexé par le temps qui s’écrit où est un processus de Poisson et est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées.
Propriétés modifier
Accroissements modifier
Comme tout processus de Lévy, le processus de Poisson composé est à accroissements indépendantset à accroissements stationnaires. De plus, les lois de ses accroissements sont infiniment divisibles.
Moments modifier
Espérance modifier
Théorème — Moment d'ordre 1- Si admet un moment d'ordre 1, alors pour tout la variable aléatoire possède un moment d'ordre 1 et
Variance modifier
Théorème — Variance- Si admet un moment d'ordre 2, alors pour tout , admet un moment d'ordre 2 et on a
Loi des Grands Nombres modifier
On peut écrire une Loi des grands nombres pour le processus de Poisson Composé.
Théorème — Si les ont un moment d'ordre 2, alors
Fonction Caractéristique modifier
La fonction caractéristique de détermine entièrement sa Loi de probabilité
Théorème — La fonction caractéristique d'un processus de Poisson composé d'intensité s'écrit
Théorème Limite Central modifier
On peu établir un théorème de convergence pour le processus .
Théorème — Soit un processus de Poisson composé d'intensité . On suppose les centrées, réduites et indépendantes et identiquement distribuées. On a alors la Convergence en loi suivante
Annexes modifier
Bibliographie modifier
- D. Applebaum, Lévy Processes and Stochastic Calculus, PPUR presses polytechniques, 2009
- J. Bertoin, Lévy Processes, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. (ISBN 0-52164-632-4)
- Y. Caumel, 'Probabilités et Processus Stochastiques, Springer Verlag France, 2011, ISBN-10: 2817801628
Notes et références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Compound Poisson process » (voir la liste des auteurs).