Formule des probabilités totales

formule mathématique
Dans cet arbre de probabilité, la probabilité de l'événement B s'obtient en sommant les probabilités des chemins conduisant à la réalisation de B.

En théorie des probabilités, la formule des probabilités totales est un théorème qui permet de calculer la probabilité d'un événement en le décomposant suivant un système exhaustif d'événements.

ÉnoncéModifier

Formule des probabilités totales — On se donne un espace probabilisé   Si   est un système exhaustif (fini ou dénombrable) d'évènements, et si quel que soit     alors, pour tout évènement  

 
Remarques :
  • Lorsque   définir   pose problème :   serait la probabilité conditionnelle de   sachant un évènement qui ne se produit jamais, à savoir   La définition usuelle de   conduirait alors à diviser par 0 ... Une convention qui est rarement nocive consiste, lorsque   à attribuer à   une valeur arbitraire entre 0 et 1 : on n'a jamais besoin de pronostiquer la vraisemblance de l'évènement   sachant   puisque   ne se produit jamais, donc attribuer à   une valeur arbitraire ne provoquera aucune erreur. Par ailleurs, dans la formule des probabilités totales, attribuer à   une valeur arbitraire entre 0 et 1 n'a aucune importance, puisqu'on multiplie ensuite cette valeur par   En résumé, avec cette convention, l'hypothèse   est superflue pour la formule des probabilités totales.
  • L'hypothèse selon laquelle   est un système exhaustif peut être affaiblie :   peut être remplacée par   Il est par contre essentiel que les   soient disjoints.

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Une varianteModifier

Théorème — On se donne un espace probabilisé   et un évènement A. Si   est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B,

 

Corollaire — Si   est une partition (finie ou dénombrable) de l'évènement B, et si   ne dépend pas de i, alors la valeur commune des probabilités conditionnelles   est  

Ce corollaire permet de ramener le calcul de   au calcul des   parfois plus facile, car l'évènement Bi, étant plus petit que l'évènement B, fournit une information plus précise, et facilite ainsi le pronostic (pronostic = calcul de la probabilité conditionnelle). Le cas se présente souvent lorsqu'on étudie deux chaines de Markov dont l'une est image de l'autre. La démonstration de la propriété de Markov pour les processus de Galton-Watson est un exemple parmi beaucoup d'autres.

En particulier, le corollaire est fréquemment utilisé dans le cas où B=Ω, et permet alors de ramener le calcul de   au calcul des  

Voir aussiModifier