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En mathématiques, la coïndicatrice (ou co-indicatrice)[réf. nécessaire] (en anglais : cototient) est une fonction arithmétique de la théorie des nombres, construite à partir de l'indicatrice d'Euler φ. Elle associe à tout entier naturel n non nul le nombre n – φ(n), qui représente le nombre d'entiers compris entre 1 et n (inclus) et qui ne sont pas premiers avec n (de manière équivalente, qui ont avec n au moins un facteur premier commun).
Exemples et propriétés modifier
Les 99 premières valeurs de la fonction coïndicatrice sont présentées dans le tableau suivant (suite A051953 de l'OEIS) :
| n – φ(n) | +0 | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0+ | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 | 4 | 1 | 4 | 3 | |
| 10+ | 6 | 1 | 8 | 1 | 8 | 7 | 8 | 1 | 12 | 1 |
| 20+ | 12 | 9 | 12 | 1 | 16 | 5 | 14 | 9 | 16 | 1 |
| 30+ | 22 | 1 | 16 | 13 | 18 | 11 | 24 | 1 | 20 | 15 |
| 40+ | 24 | 1 | 30 | 1 | 24 | 21 | 24 | 1 | 32 | 7 |
| 50+ | 30 | 19 | 28 | 1 | 36 | 15 | 32 | 21 | 30 | 1 |
| 60+ | 44 | 1 | 32 | 27 | 32 | 17 | 46 | 1 | 36 | 25 |
| 70+ | 46 | 1 | 48 | 1 | 38 | 35 | 40 | 17 | 54 | 1 |
| 80+ | 48 | 27 | 42 | 1 | 60 | 21 | 44 | 31 | 48 | 1 |
| 90+ | 66 | 19 | 48 | 33 | 48 | 23 | 64 | 1 | 56 | 39 |
- Il est à noter que pour n premier, n – φ(n) = 1.
- D'après les propriétés d'inégalités de l'indicatrice d'Euler, un encadrement de la valeur de la coïndicatrice peut être fourni. Pour tout nombre composé n > 6 :
La fonction coïndicatrice en tant que telle n'est pas spécialement étudiée ; deux catégories de nombres définis à partir de la coïndicatrice ont fait l'objet d'études spécifiques : les nombres anticoïndicateurs et les nombres hautement coïndicateurs. De la même façon que sont construits les nombres anti-indicateurs et les nombres hautement indicateurs avec l'indicatrice d'Euler, les nombres anticoïndicateurs et les nombres hautement coïndicateurs dérivent de propriétés spécifiques de l'image de la coïndicatrice.
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| n vérifiant n – φ(n) = k | tous les nombres premiers | 4 | 9 | 6, 8 | 25 | 10 | 15, 49 | 12, 14, 16 | 21, 27 | / |
Nombre de solutions de x – φ(x) = k ( A063740)
|
∞ | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 2 | 3 | 2 | 0 |
| Hautement coïndicateur (HC) | Anticoïndicateur (AC) | HC | HC | HC | AC |
Plus précisément, les nombres anticoïndicateurs sont les nombres k n'admettant pas d'antécédents par la coïndicatrice. De manière équivalente, exprimé algébriquement, ce sont les entiers k tels que l'équation n – φ(n) = k ne possède pas de solution.
Les nombres hautement coïndicateurs sont les nombres k admettant plus d'antécédents par la coïndicatrice que tout entier l < k. De manière équivalente, exprimé algébriquement, ce sont les entiers k tels que l'équation n – φ(n) = k possède plus de solution que chacune des équations n – φ(n) = l pour tout 1 < l < k.
Nombre anticoïndicateur modifier
En mathématiques, un anticoïndicateur[réf. nécessaire] est un entier strictement positif n qui ne peut pas être exprimé comme la différence entre un entier m > 0 et le nombre des entiers compris entre 1 et m et premiers avec m. Exprimé algébriquement, pour un tel n, l'équation m – φ(m) = n ne possède pas de solution, où m est l'inconnue, et φ désigne la fonction indicatrice d'Euler.
La suite des anticoïndicateurs (suite A005278 de l'OEIS) commence par : 10, 26, 34, 50, 52.
Propriétés modifier
Paul Erdős et Wacław Sierpiński se sont demandé s'il existe une infinité d'anticoïndicateurs. Ceci fut finalement résolu par l'affirmative par Jerzy Browkin (en) et Andrzej Schinzel (1995), qui ont montré que tout entier de la forme 2k × 509 203 est un anticoïndicateur. Depuis, Flammenkamp et Luca[1] ont trouvé d'autres suites infinies, analogues, d'anticoïndicateurs.
Conjectures modifier
Il a été conjecturé que tous les anticoïndicateurs sont pairs, ou formulé de manière équivalente qu'aucun nombre impair ne peut être anticoïndicateur[2]. Ceci découle d'une forme modifiée de la conjecture de Goldbach : si le nombre pair n peut être représenté comme une somme de deux nombres premiers distincts p et q, alors
Plus précisément, en supposant que chaque nombre pair plus grand que 6 soit une somme de nombres premiers distincts, on démontrerait ainsi que tout nombre impair plus grand que 5 présente une solution à l'équation et qu'aucun n'est anticoïndicateur. Les nombres impairs restants sont couverts par les observations suivantes : 1 = 2 – φ(2), 3 = 9 – φ(9) et 5 = 25 – φ(25).
Nombre hautement coïndicateur modifier
En mathématiques — plus précisément en théorie des nombres — un nombre hautement coïndicateur (ou hautement co-indicateur) est un entier naturel n > 1 tel que pour tout entier k strictement compris entre 1 et n, l'équation x − φ(x) = k — où φ est l'indicatrice d'Euler — a moins de solution que x − φ(x) = n.
On exclut k = 1 dans la définition parce que l'équation x − φ(x) = 1 a une infinité de solutions (les nombres premiers).
Les trente et un premiers termes de la suite des entiers hautement coïndicateurs (suite A100827 de l'OEIS) sont
2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889.
Propriétés modifier
« Beaucoup » de nombres hautement coïndicateurs sont impairs (comme ceux de 23 à 1889) et même congrus à –1 modulo 10 (comme ceux de 209 à 1889).
De même que les nombres hautement composés, les nombres hautement coïndicateurs forment un ensemble infini, et à mesure qu'ils augmentent, les calculs sont de plus en plus longs, puisqu'ils mettent en jeu la décomposition en produit de facteurs premiers.
Hautement coïndicateurs premiers modifier
Les quatorze premiers termes de la suite des nombres à la fois hautement coïndicateurs et premiers (suite A105440 de l'OEIS) sont 2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839.
Notes et références modifier
- (en) A. Flammenkamp et F. Luca, « Infinite families of noncototients », Colloq. Math., vol. 86, no 1, , p. 37-41 (zbMATH 0965.11003).
- (en) « Suite A005278 », sur https://oeis.org/ : « Commentaires de Benoit Cloitre, Mar 03 2002 »