Utilisateur:Alain Busser/Théorème d'Ayme

Le théorème d'Ayme est un résultat de septembre 2011 concernant la géométrie du triangle. C'est un théorème de géométrie projective. Le théorème a été découvert et démontré par Jean-Louis Ayme, professeur de mathématiques retraité à Saint-Denis de la Réunion.

Hypothèses du théorème

Triangle

On considère un triangle ABC (en bleu) et son cercle circonscrit (en vert):

Trois points

On considère trois points P, Q et R du plan (ailleurs que sur les côtés de ABC):

Constructions de droites

Constructions basées sur le premier sommet

Avec P

La droite (AP) est la cévienne de P issue de A; elle coupe le côté opposé en un point Pa:

Avec Q

De même, la droite (AQ) coupe le côté opposé en Qa:

Avec R

Par contre, le point Ra est défini comme l'intersection de (AR) et du cercle circonscrit à ABC:

Cercle

Comme le triangle PaQaRa n'est pas aplati, il possède un cercle circonscrit (en rouge):

Point

L'intersection des deux cercles est formée de deux points; l'un d'eux est Ra.

Définition du point associé à A

L'autre point d'intersection des deux cercles est noté Sa ci-dessus.

Droite passant par A

On construit alors la droite (ASa):

Constructions basées sur le second sommet

En répétant les constructions ci-dessus avec le point Q, on construit successivement

1. le point Pb, intersection de (BP) et (AC);
2. le point Qb, intersection de (BQ) et (AC);
3. le point Rb, intersection de (BR) et du cercle circonscrit;
4. le cercle circonscrit à PbQbRb (en rouge)
5. L'intersection de ce cercle avec le cercle circonscrit à ABC: Le point Sb:

On joint alors le dernier point construit (Sb) au sommet B qui lui correspond:

Constructions basées sur le troisième sommet

De même, on construit le point Sc correspondant au sommet C:

Énoncé du théorème

Théorème — Les trois droites (ASa), (BSb) et (CSc) sont concourantes.

Notes et références

Liens externes

• [2] l'original du théorème
• [3] annonce dans une revue à referee
• [4] figure animée sur le site de l'IREM de la Réunion
• [5] des figures effectuées par des élèves