Triangles homologiques
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En géométrie du plan, deux triangles ABC et A'B'C' sont dits homologiques si les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes.
Exemples modifier
Kariya a établi le résultat suivant[1] :
Théorème — Soit un triangle ABC. Pour un cercle parmi le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits, on note O son centre et on considère son triangle de contact TATBTC par rapport au cercle choisi. Alors ABC et TATBTC sont homologiques. De plus, pour tout triangle T homothétique de TATBTC par rapport à O, ABC et T sont homologiques.
Théorème de Desargues modifier
Le théorème de Desargues établit que si deux triangles ABC et abc homologiques, on peut reconstruire l'homologie qui transforme ABC en abc[2].
Théorème de Desargues — Soit ABC et abc deux triangles homologiques, de centre O. On note les intersections des cotés prolongés des deux triangles
Alors les points A', B', C' sont alignés sur une même droite Δ.
De plus, il existe une homologie transformant le triangle ABC en abc de centre O et d'axe Δ.
La réciproque de ce théorème est vraie.
Triangles homologiques et coniques modifier
Neuberg a mis en évidence que si deux triangles sont homologiques, ils sont polaires réciproques l'un de l'autre par une conique, et réciproquement[3]; on peut obtenir ce résultat de façon plus simple par le théorème de Brianchon[4].
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Par une ellipse -
Par une hyperbole -
Par une parabole
Triplets de triangles homologiques modifier
Un triplet de triangles homologiques est un triplet de triangles qui, pris deux à deux, sont homologiques[5].
S'ils ont un même pôle d'homologie, alors leurs axes d'homologie coïncident. S'ils ont un même axe d'homologie, alors leurs pôles d'homologie sont alignés, et réciproquement.
Théorème de Veronese — Soient A1B1C1 et A2B2C2 deux triangles homologiques. Soient alors les points A3 intersection de (B1C2) et (B2C1), B3 intersection de (C1A2) et (C2A1), et C3 intersection de (A1B2) et (A2B1).
Alors les triangles A1B1C1, A2B2C2 et A3B3C3 forment un triplet de triangles homologiques et leurs pôles d'homologie sont alignés.
Tétraèdres homologiques modifier
Voir aussi modifier
Références modifier
- Henri Lebesgue, « Sur les triangles homologiques », L'Enseignement Mathématique, vol. 23, (DOI 10.5169/seals-19745, lire en ligne)
- « Triangles homologiques », sur villemin.gerard.free.fr (consulté le ).
- Joseph Neuberg, « Sur les triangles homologiques », Nouvelle correspondance mathématique, vol. 5, (lire en ligne)
- Bertrand Gambier, « Triangles homologiques, tétraèdres homologiques, tétraèdres en situation hyperboloïdale », Bulletin de la S. M. F., vol. 66, , p. 8-47 (lire en ligne)
- (en) Ion Pătraşcu et Florentin Smarandache, « Triplets of tri-homological triangles », ResearchGate, (lire en ligne)
- R. Deaux, « Sur un point remarquable du triangle », L'Enseignement Mathématique, vol. 28, (lire en ligne [PDF])
