Transformation de Cole-Hopf

La transformation de Cole-Hopf est un changement de variable destiné à transformer certaines équations aux dérivées partielles paraboliques comportant une non-linéarité en une équation de la chaleur et donc d'utiliser les méthodes d'obtention de solutions développées pour ce problème (voir noyau de la chaleur).

Elle a été développée indépendamment pour la résolution de l'équation de Burgers par Julian Cole[1] et par Eberhard Hopf[2].

La transformation

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L'équation de Burgers portant sur la vitesse d'un fluide   en une dimension d'espace   s'écrit :

 

  est la viscosité cinématique.

On introduit la fonction[3] :

 

En introduisant cette quantité dans l'équation de Burgers il vient :

 

On intègre chaque membre en redéfinissant     où     est une constante d'intégration et on obtient ainsi l'équation de la chaleur :

 

Applications et généralisations

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La méthode a été appliquée également à l'équation de Korteweg–de Vries[4].

La transformation a également été généralisée en utilisant un coefficient variable afin d'étendre son utilisation aux équations non-linéaires paraboliques et hyperboliques exactement linéarisables[5]. Cela concerne les équations modèles de système de réaction-diffusion ou de turbulence tels que celui proposé par Burgers[6].

Références

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  1. (en) Julian D. Cole, « On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics », Quarterly of Applied Mathematics, vol. 9, no 3,‎ , p. 225–236 (ISSN 0033-569X, DOI 10.1090/qam/42889  , lire en ligne)
  2. (en) Eberhard Hopf, « The partial differential equation ut + uux = μxx », Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 3, no 3,‎ , p. 201–230 (DOI 10.1002/cpa.3160030302, lire en ligne)
  3. (en) David Bilodeau, « Cole-Hopf Transformation », sur Université McGill
  4. (en) A. H. Salas et Gómez S., « Application of the Cole-Hopf Transformation for Finding Exact Solutions to Several Forms of the Seventh-Order KdV Equation », Mathematical Problems in Engineering, vol. 2010, no ID 194329,‎ (lire en ligne)
  5. (en) P.L. Sachdev, « A generalised Cole-Hopf transformation for nonlinear parabolic and hyperbolic equations », Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), vol. 29, no 6,‎ , p. 9693-970 (lire en ligne)
  6. Garrett Neske, « Burgers Turbulence », sur Wolfram Demonstration Projects