Transformation équiaréale

En géométrie différentielle, une transformation géométrique entre deux surfaces est dite équiaréale (ou équiaire ou encore équisurfacique) si elle conserve les aires.

Définition

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Soient   et   deux surfaces de l'espace euclidien R3, f un difféomorphisme local de   sur   ; f est dite équiaréale si l'une quelconque des conditions équivalentes suivantes est réalisée [1] :

  • L'aire de f(U) est égale à l'aire de U pour tout ouvert U dans   .
  • L'image réciproque de l'élément d'aire   sur   est égal à  , l'élément d'aire sur   .
  • En tout point m de  , et tous vecteurs v et w tangents à   en m,
 
  désigne le produit vectoriel et df la différentielle de f .

Si   est paramétrée par  , et  , la condition s'écrit donc :   [1].

Exemple

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Illustration de la projection isocylindrique.

Un exemple de transformation équiaréale est la projection, dite isocylindrique, de la sphère unité x2 + y2 + z2 = 1 privée des deux pôles  , orthogonalement sur le cylindre unité x2 + y2 = 1 [1] . Une formule explicite est

 

pour tout (x, y, z) de la sphère unité.

Archimède avait déjà démontré que la sphère a la même aire que sa projection sur le cylindre.

Cas des transformations du plan dans lui même

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Pour une transformation f de R2 dans lui-même la condition d'équiaréalité s'écrit  .

Les transformations équiaréales du plan dans lui-même sont donc les transformations de jacobien  .

Un exemple quadratique est donné par  .

Cas linéaire

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Une transformation linéaire est donc équiaréale si et seulement si elle est de déterminant   (on peut aussi savoir qu'elle multiplie les aires par la valeur absolue de son déterminant).

Les isométries du plan euclidien en sont des exemples, mais il y en a d'autres, comme les transvections ou les rotations hyperboliques.

Une transvection transforme un rectangle en un parallélogramme de même aire. Sous forme matricielle, une transvection le long de l'axe x s'écrit

 

Une rotation hyperbolique allonge et contracte les côtés d'un rectangle de manière inverse l'une de l'autre, de sorte que l'aire est conservée. Sous forme matricielle, avec λ > 1, elle s'écrit

 .

L'élimination de Gauss-Jordan montre que toute transformation linéaire équiaréale (rotations comprises) peut être obtenue en composant au plus deux transvections le long des axes, une rotation hyperbolique et, si le déterminant est négatif, une réflexion.

Cas des projections cartographiques

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Dans le contexte des cartes géographiques, une projection cartographique est dite équivalente, ou authalique, si les rapports des aires sont conservés. Elle est donc équiaréale à un facteur multiplicatif près ; en plongeant de manière évidente dans R3 la carte image, généralement considérée comme un sous-ensemble de R2, la condition donnée ci-dessus est alors affaiblie en :

 

pour un   ne dépendant pas de   et  .

La sphère unité de R3 étant paramétrée par    est la longitude et   la latitude, et la projection étant définie par  , la condition s'écrit  , soit   [2].

Exemples de projections équivalentes :

  • la projection de Peters définie par  
  • la projection sinusoïdale définie par  

Références

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  1. a b et c (en) Andrew Pressley, Elementary differential geometry, Londres, Springer-Verlag, (lire en ligne), p. 139-147
  2. Yann Ollivier, « Propriétés de conservation », sur Les projections cartographiques

Articles connexes

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