Théorie k-catégorique
Ne doit pas être confondu avec K-théorie.
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En logique mathématique, une théorie est dite k-catégorique pour un nombre cardinal k si elle a exactement un modèle de cardinalité k (à isomorphisme près).
Théorème de Łoś-Vaught modifier
Énoncé modifier
Théorème de Łoś (pl)-Vaught — Toute théorie sans modèle fini qui est k-catégorique pour un certain cardinal k (infini) au moins égal à celui de son langage est complète.
Exemples de telles théories complètes modifier
- La théorie des ensembles infinis est k-catégorique pour tout cardinal k infini.
- C'est une théorie du premier ordre en calcul des prédicats égalitaire pur qui comporte une infinité dénombrable d'axiomes, soit pour tout entier n ≥ 1 l'axiome « il existe au moins n éléments distincts » :
- .
- Les quatre théories des ensembles densément ordonnés pour lesquels on précise s'ils ont ou non un premier ou un dernier élément[1] sont ℵ₀-catégoriques (en) et leurs modèles dénombrables sont isomorphes respectivement aux ensembles ordonnés de rationnels
- .
![{\displaystyle \left]0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right[\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left]0,1\right]\cap \mathbb {Q} ,\qquad \left[0,1\right]\cap \mathbb {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4779429d324d3b0b332c6c92a497de1020797bad)
Théorème de Morley modifier
Théorème de Morley — Si une théorie dans un langage au plus dénombrable est k-catégorique pour un certain cardinal k strictement supérieur au dénombrable, alors elle l'est pour tous.
Notes et références modifier
- Voir aussi la démonstration que ces théories sont complètes par la méthode, autre, de l'élimination des quantificateurs, in Jean-Louis Krivine et Georg Kreisel, Éléments de logique mathématique, Théorie des modèles, Dunod 1967, p. 47-50, pdf ; ce résultat est également lié à un théorème bien connu, dû à Cantor.
Voir aussi modifier
Bibliographie modifier
(en) Dirk van Dalen (de), Logic and Structure, "chap. 3.3 Some model theory", Springer-Verlag, 1991.
