Théorie de Dempster-Shafer

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La théorie de Dempster-Shafer est une théorie mathématique basée sur la notion de preuves[1] utilisant les fonctions de croyance et le raisonnement plausible. Le but de cette théorie est de permettre de combiner des preuves distinctes pour calculer la probabilité d'un évènement. Cette théorie a été développée par Arthur P. Dempster (en) et Glenn Shafer. Elle est aussi appelée théorie des croyances ou théorie de l’évidence.

Photo de Dempster

Formalisme mathématiqueModifier

Soit   un univers, c’est-à-dire un ensemble contenant tous les éléments auxquels on s’intéresse. L’ensemble de ses parties,  , est l’ensemble de tous les sous-ensembles de  , y compris l’ensemble vide  . Par exemple, si:

 

alors

 

Les éléments de l’ensemble des parties de   peuvent être interprétés comme des propositions, un élément représentant les états qu’il contient. Par exemple, on peut interpréter l’élément   comme « la proposition a est vérifiée » ou « on est dans l’état a », ou encore   comme « on est soit dans l’état a, soit dans l’état b ».

Notion de masseModifier

Les masses sont assignées par une fonction appelée Basic Belief Assignment (BBA) formellement definie comme suit:

 

La fonction de BBA respecte les propriétés suivantes:

  • la masse de l’ensemble vide est 0 :
 
  • la somme des masses des autres sous-ensembles vaut 1 :
 


La masse   d'un élément donné   de l’ensemble des parties exprime la proportion de toutes les preuves disponibles affirmant que l'état actuel est   et pas un autre état ou un sous-état de  . La valeur de   concerne donc seulement l’état   et n’apporte aucun crédit aux sous-ensembles de  , chacun d’eux ayant, par définition, sa propre masse.

Aujourd'hui, il n'y a pas de méthode à proprement définie pour assigner des masses à des éléments. Cette assignassions est donc faite manuellement par heuristique et les fonctions de BBA publiées sont de réelles apports.

Combinaison de preuves et de massesModifier

Le problème qui se pose maintenant est de savoir comment combiner deux ensembles indépendants et leurs masses. La règle de combinaison originale, connue en tant que règle de combinaison de Dempster, est une généralisation du théorème de Bayes. Ce théorème met clairement en valeur l’accord entre des sources multiples et ignore les conflits grâce à un facteur de normalisation. L’utilisation de ce théorème pose ainsi problème lorsque des conflits significatifs ont lieu entre différentes sources d’information.

Ici, la combinaison ou masse jointe est calculée à partir des deux masses   et   de la manière suivante :

 
 

 

  est une mesure du niveau de conflit entre les deux masses. Le facteur de normalisation   permet d’ignorer ces conflits et d’attribuer toute masse impliquée dans le conflit à l’ensemble nul. De ce fait, cette opération donne des résultats contre-intuitifs face à des conflits significatifs, dans certains contextes.

La règle de combinaison de Dempster est prévue pour les cas de monde clos. Une autre règle de combinaison, la règle de combinaison conjonctive, propose une alternative pour les mondes ouverts:


 

Dans ce cas, lorsqu'il y a une fusion de valeurs conflictuel, ma valeur de   n'est plus égale à zéro. Cela peut être interprété de plusieurs façons.

  • Une mesure est aberrante.
  • La modélisation des fonction de croyance sont imparfaite.

Que ce soit pour la règle de combinaison conjonctive ou la règle de combinaison de Dempster, elles ont les propriétés suivante:

  • Commutativité:  
  • Associativité:  
  • Élément neutre  :  

Dans ces deux cas, les sources doivent être distinctes et fiables.

Une autre règle de combinaison, la règle disjonctive, permet la fusion de sources où au moins une des sources est fiable. Elle est calculée comme suit:

 

Raisonnement par incertitude et prise de décisionModifier

Nous pouvons différencier deux niveaux de raisonnement: le niveau crédal et le niveau pignistique. Le niveau crédal se base sur le raisonnement par incertitude alors que le niveau pignistique se base sur des mesures de probabilité sur les masses. Ces raisonnement permettent à partir d'un ensemble   afin de classer les éléments de   et donc de prendre une décision sur l'élément de   à choisir.

Niveau crédalModifier

À partir de la valeur de la masse d’un état, on peut définir un intervalle de probabilité. Cet intervalle contient la valeur précise de la probabilité de l’état, et est borné par deux mesures appelées croyance et plausibilité:

 


La croyance   d'un ensemble   est définie comme la somme des masses de tous ses sous-ensembles (pas nécessairement propres) :

 

La plausibilité   est définie comme la somme des masses de tous les ensembles   qui intersectent  :

 


Ces deux mesures sont liées :  

De ce fait, la connaissance d’une seule de ces valeurs (masse, croyance ou plausibilité) suffit à déduire les deux autres.

Niveau pignistiqueModifier

Comme pour le niveau crédal, nous pouvons utiliser la valeur de masse d'un état mais cette fois ci dans le but d'effectuer une mesure de probabilité. Cette mesure est effectuée comme suit[2]:

 

Ici, les valeurs   et   correspondent à leur cardinalité (c'est à dire au nombre d'éléments).

Notes et référencesModifier

  1. Shafer, Glenn; A Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press, 1976
  2. Philippe SMETS, « Constructing the Pignistic Probability Function in a Context of Uncertainty », dans Uncertainty in Artificial Intelligence, Elsevier, (lire en ligne), p. 29–39

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier