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Théorème fondamental de la théorie de Galois

Théorème de la théorie de Galois

Énoncé du théorèmeModifier

Soient L une extension galoisienne finie de K et G son groupe de Galois. Pour tout sous-groupe H de G, on note LH le sous-corps de L constitué des éléments fixés par chaque élément de H.

  • L est une extension galoisienne de LH et H est le groupe de Galois associé.
  • L'application qui à chaque H associe LH est une bijection de l'ensemble des sous-groupes de G dans l'ensemble des corps intermédiaires compris entre K et L.
  • L'extension LH de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe normal de G. Alors, le groupe de Galois de cette extension est isomorphe au groupe quotient G/H.

Le cas général. Si on ne suppose plus l'extension finie, le groupe de Galois Gal(L/K), c'est-à-dire le groupe des K-automorphismes de L, est un groupe profini (limite projective de groupes finis), muni de la topologie profinie. Le théorème fondamental s'énonce comme suit[1] :

Théorème — 

  • Pour tout sous-groupe fermé H de Gal(L/K), l'ensemble des éléments invariants LH est une sous-extension de L.
  • L'application qui à tout sous-groupe fermé H associe LH est une bijection de l'ensemble des sous-groupes fermés de Gal(L/K) dans l'ensemble des sous-extensions de L. De plus L est galoisienne sur LH de groupe de Galois H.
  • L'extension LH de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe distingué de Gal(L/K). Le groupe de Galois de LH sur K sera alors le groupe quotient Gal(L/K)/H.
  • L'extension LH/K est finie si et seulement si H est un sous-groupe ouvert.

DémonstrationModifier

Propositions démontrées dans d'autres articlesModifier

Les trois premières propositions ci-dessous sont démontrées dans le paragraphe « Théorème fondamental de la théorie de Galois » de l'article sur les extensions de Galois et la quatrième dans le paragraphe « Morphisme dans la clôture algébrique » de l'article sur les extensions séparables. La cinquième est immédiate.

  1. (Lemme d'Artin) Soient L un corps, G un groupe fini d'automorphismes de L, de cardinal n, et K le sous-corps des éléments fixés par chaque élément de G. Alors L est une extension galoisienne de K, de degré n.
  2. Si L est une extension galoisienne de K et si F est un corps intermédiaire ( ), alors L est une extension galoisienne de F et Gal(L/F) est le sous-groupe de Gal(L/K) constitué des éléments qui laissent F invariant.
  3. Si L est une extension galoisienne finie de K, alors le sous-corps des éléments de L fixés par tous les éléments de Gal(L/K) est réduit à K.
  4. Si L est une extension finie séparable de F alors tout morphisme de F dans la clôture algébrique Ω se prolonge en un morphisme de L dans Ω.
  5. Si L est une extension séparable de K et si F est un corps intermédiaire alors L est séparable sur F et F est séparable sur K.

Démonstration de la première propositionModifier

L est une extension galoisienne de LH et H est le groupe de Galois associé.

C'est une conséquence directe du lemme d'Artin (propriété 1 ci-dessus).

Démonstration de la deuxième propositionModifier

L'application qui à chaque H associe LH est une bijection de l'ensemble des sous-groupes de G dans l'ensemble des corps intermédiaires compris entre K et L.

D'après la proposition précédente, Gal(L/LH)=H. Inversement, pour tout corps intermédiaire F, L est galoisien sur F d'après la propriété 2 ci-dessus, et LGal(L/F)=F d'après la propriété 3. Ainsi, l'application qui à H associe LH est bien une bijection, sa bijection réciproque étant l'application qui à tout corps intermédiaire F associe le sous-groupe Gal(L/F) de G.

Démonstration de la troisième propositionModifier

L'extension LH de K est galoisienne si et seulement si H est un sous-groupe normal de G. Alors, le groupe de Galois de cette extension est isomorphe au groupe quotient G/H.

Soient F et H se correspondant par la bijection ci-dessus, donc F = LH et H = Gal(L/F). D'après la propriété 5 ci-dessus, F est toujours séparable sur K. Il s'agit donc de démontrer que :

(1) Si F est une extension normale de K alors il existe un morphisme surjectif de G dans Gal(F/K) de noyau H.
(2) Si H est un sous-groupe normal de G alors F est une extension normale de K.
Démontrons (1).

Comme F est supposé normal sur K, tout élément de G laisse F stable. Ceci permet de définir une application ψ de G dans Gal(F/K) qui à g associe sa restriction à F. Cette application est clairement un morphisme de groupes de noyau H. D'après la propriété 5 ci-dessus, L est séparable sur F, ce qui permet d'appliquer la propriété 4 : tout élément de Gal(F/K) se prolonge en un morphisme de L dans Ω, qui (par normalité de L sur K) est en fait un élément de G. Ainsi, ψ est surjectif.

Démontrons (2).

Un rapide calcul permet de constater que via la bijection de la deuxième proposition, l'action naturelle de G sur l'ensemble des corps intermédiaires correspond à l'action de G sur ses sous-groupes par conjugaison, c.-à-d. :

 

Par conséquent, si H est normal dans G alors F est stable par tout élément de G. Cela suffit pour affirmer que F est normal sur K. En effet, soit f un morphisme de F dans Ω laissant K invariant. À nouveau d'après les propriétés 5 et 4 ci-dessus, f s'étend en un élément g de G, d'où f(F) = g(F) = F.

RéférenceModifier

  1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. 5, § 7.

Voir aussiModifier