Théorème de propagation des singularités

Théorème de propagation des singularités (aussi théorème de Duistermaat-Hörmander) est un résultat mathématique de l'analyse microlocale, qui est l'ensemble de front d'onde (en anglais : wave front set) de la solution distributionnelle de l'équation (pseudo-)différentielle partielle

$Pu=f$

pour un opérateur pseudo-différentiel $P$ sur une variété lisse. Il dit que la propagation des singularités le long du flux bi-caractéristique des symbole principales découle de $P$.

Le théorème est apparu 1972 dans un travail sur les intégrateurs de Fourier par Johannes Jisse Duistermaat et Lars Hörmander.

Propagation des singularités

Soit:

• $X$ est variété lisse
• $L_{\sigma ,\delta }^{m}(X)$ est la classe des opérateurs pseudo-différentiels de type $(\sigma ,\delta )$ avec symbole $a(x,y,\theta )\in S_{\sigma ,\delta }^{m}(X\times X\times \mathbb {R} ^{n})$
• $S_{\sigma ,\delta }^{m}$ est la classe des symboles
• $L_{1}^{m}(X):=L_{1,0}^{m}(X)$
• $D'(X)=(C_{0}^{\infty }(X))^{*}$ est l'espace des distributions

Système hamiltonien du symbole principal

Soit $p_{m}(x(t),\xi (t))$ la mécanique hamiltonienne, alors le système hamiltonien sur $T^{*}X$ est donné par

${\begin{cases}{\dot {\xi }}(t)=-\nabla _{x}p_{m}(x(t),\xi (t))\\{\dot {x}}(t)=\nabla _{\xi }p_{m}(x(t),\xi (t)).\end{cases}}$

Une courbe solution du système est appelée bicaractéristique de $p_{m}$ et le flux du champ vectoriel hamiltonien est appelé flux bicaractéristique. Les courbes avec $p_{m}(x(t),\xi (t))=0$ sont dites zéro bicaractéristique et on note l'ensemble par

$\operatorname {char} p_{m}:=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\setminus \{0\}:p_{m}(x(t),\xi (t))=0\}.$

Théorème

Soit $P$ un opérateur pseudo différentiel réel de classe $L_{1}^{m}(X)$ avec un symbole principal réel $p_{m}(x,\xi )$ qui est homogène et de degré $m$ en $\xi$. Soit $u\in D'(X)$ et résout l'équation $Pu=f$ puis suit

$WF(u)\setminus WF(f)\subset \operatorname {char} p_{m}$.

De plus, $WF(u)\setminus WF(f)$ est invariant sous le flot hamiltonien induit par $p_{m}$.

Bibliographie

• Lars Hörmander, « Fourier integral operators. I », Acta Mathematica, Institut Mittag-Leffler, vol. 128,‎ 1972, p. 79 - 183 (DOI 10.1007/BF02392052)
• J. J. Duistermaat et L. Hörmander, « Fourier integral operators. II », Acta Mathematica, Institut Mittag-Leffler, vol. 128,‎ 1972, p. 196 (DOI 10.1007/BF02392165)
• Mikhail A. Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer Berlin, Heidelberg (ISBN 978-3-540-41195-6), p. 134-135
• Michael E. Taylor, « Propagation, reflection, and diffraction of singularities of solutions to wave equations », Bulletin of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, vol. 84, n^o 4,‎ 1978, p. 589 -- 611 (lire en ligne)