Théorème de Varignon

dans un quadrilatère, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme nommé parallélogramme de Varignon

Il existe deux théorèmes démontrés par Pierre Varignon.

Théorème mathématiqueModifier

Théorème — Si ABCD est un quadrilatère quelconque et I, J, K, L les milieux de ses côtés, alors IJKL est un parallélogramme[1].

D'autre part, si ABCD est plan et convexe, son aire est le double de celle de IJKL.

En corollaire, les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme).

Le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère.

Une démonstration algébrique du théorème de VarignonModifier

 
Cas d'un quadrilatère croisé.

En reprenant les notations du dessin ci-dessus, et en adoptant les notations barycentriques, on a :

 

donc (par associativité du barycentre)

 ,

ce qui exprime que IJKL est un parallélogramme.

Cette démonstration illustre la « jolie métaphore » de Nicolas Bourbaki, rapportée par Georges-Théodule Guilbaud dans son avant propos d'un livre de Hermann Weyl[2] : « Sous cette impitoyable clarté (celle de l'algèbre), la géométrie classique se fane brusquement et perd son éclat. »

En outre, elle dissipe toute hésitation concernant les quadrilatères croisés ou les quadrilatères concaves.

Théorème mécaniqueModifier

Une force   se décompose en deux forces   et   :

 .

Le théorème de Varignon énonce que

le moment de la force   par rapport à un point est égal à la somme des moments de forces   et   par rapport à ce même point,

si l'on considère un point A quelconque :

  (en valeur algébrique),

ou bien

  (en vectoriel)

RéférencesModifier

  1. Jean Dieudonné, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Paris, Hermann, coll. « Enseignement des sciences », , ex. 2, p. 50.
  2. Hermann Weyl (trad. de l'anglais), Symétrie et mathématique moderne, Paris, Flammarion, (1re éd. 1964), 151 p. (ISBN 2-08-081366-8, OCLC 36104865).

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