Quadrilatère orthodiagonal

quadrilatère dont les diagonales se coupent à angle droit

En géométrie euclidienne, un quadrilatère orthodiagonal est un quadrilatère convexe dont les diagonales se coupent à angle droit. Autrement dit, il s'agit d'un polygone à quatre côtés dont les segments entre sommets non adjacents sont perpendiculaires.

Un quadrilatère orthodiagonal (en jaune). Les deux carrés rouges, construits sur deux côtés opposés du quadrilatère, ont la même aire totale que les deux carrés bleus sur l'autre paire de côtés opposés.

Cas particuliersModifier

Un cerf-volant est un quadrilatère orthodiagonal dont l'une des diagonales est axe de symétrie. Les cerfs-volants sont les quadrilatères orthodiagonaux circonscriptibles, c'est-à-dire possédant un cercle inscrit tangent à chacun de leurs quatre côtés[1].

Un losange est un quadrilatère orthodiagonal ayant ses côtés parallèles deux à deux (c'est-à-dire un parallélogramme orthodiagonal).

Un carré est un quadrilatère qui est à la fois un cerf-volant et un losange.

Les quadrilatères à la fois orthodiagonaux et équidiagonaux sont dits de carré médian ou appelés des pseudo-carrés.

Les pseudo-carrés dans lesquels les diagonales sont au moins aussi longues que tous les côtés du quadrilatère sont d'aire maximale parmi tous les quadrilatères de diamètre donné, résolvant le cas n = 4 du problème du plus grand petit polygone. Le carré est l'un de ces quadrilatères, mais il en existe une infinité d'autres.

CaractérisationsModifier

La somme des carrés des longueurs de deux côtés opposés d'un quadrilatère orthodiagonal, est égale à celle des deux autres côtés. Notant a, b, c et d, les longueurs successives des côtés, on a[2],[3] :

 

Cette relation est une conséquence directe du théorème de Pythagore, appliqué aux quatre triangles rectangles formés par les sommets du quadrilatère et le point d'intersection des diagonales.

La réciproque est également vraie : tout quadrilatère vérifiant   est orthodiagonal[4]. La démonstration se fait par exemple par la loi des cosinus[5].

Les diagonales d'un quadrilatère convexe sont perpendiculaires si et seulement si les deux bimédianes ont même longueur[5].

Il existe une autre caractérisation à partir des angles : les diagonales d'un quadrilatère convexe ABCD se coupant en P sont perpendiculaires si et seulement si

 .

De cette équation, on en déduit que les diagonales d'un quadrilatère convexe sont perpendiculaires si et seulement si les projections de l'intersection des diagonales sur les côtés du quadrilatère forment les sommets d'un quadrilatère inscriptible[5].

 
Un quadrilatère orthodiagonal ABCD (en bleu). Le parallélogramme de Varignon (en vert) formé par les milieux des côtés de ABCD est un rectangle. De plus, les quatre milieux (en gris) et les quatre pieds des "hauteurs médianes" (en rouge) sont cocycliques sur le cercle des 8 points.

Un quadrilatère convexe est orthodiagonal si et seulement si son parallélogramme de Varignon (formé par les milieux de ses côtés) est un rectangle. On en déduit une autre caractérisation : un quadrilatère convexe est orthodiagonal si et seulement si les milieux des côtés et les pieds des quatre "hauteurs médianes" (joignant le milieu d'un côté au projeté sur le côté opposé, dénommées maltitudes en anglais) sont huit points cocycliques ; le cercle commun à ces points est appelé premier cercle des huit points [6],[7],[8]. Le centre de ce cercle est le centre de gravité du quadrilatère. Le quadrilatère formé par les pieds des "hauteurs médianes" est appelé quadrilatère orthique principal[9].

 
Un deuxième cercle des 8 points peut être construit à partir d'un quadrilatère orthodiagonal ABCD (en bleu). Les droites perpendiculaires aux côtés passant par le point d'intersection des diagonales coupent les côtés en 8 points différents, qui sont tous cocycliques.

Si les perpendiculaires aux côtés d'un quadrilatère convexe ABCD passant par l'intersection des diagonales coupent les côtés opposés en R, S, T, U ; et que K, L, M, N sont les pieds de ces perpendiculaires, alors ABCD est orthodiagonal si et seulement si les huit points K, L, M, N, R, S, T et U sont cocycliques sur le second cercle des huit points. Par corollaire, un quadrilatère convexe est orthodiagonal si et seulement si RSTU est un rectangle dont les côtés sont parallèles aux diagonales de ABCD[5].

Il existe plusieurs caractérisations par les longueurs des côtés des triangles formés par le point d'intersection P des diagonales et deux sommets consécutifs d'un quadrilatère convexe ABCD. Soient m1, m2, m3, m4 les médianes issues de P respectives des triangles ABP, BCP, CDP, DAP . Si R1, R2, R3, R4 et h1, h2, h3, h4 désignent respectivement les rayons des cercles circonscrits et les hauteurs de ces triangles, alors le quadrilatère ABCD est orthodiagonal si et seulement si au moins l'une des égalités suivantes est vraie[5] :

  •  
  •  
  •  .

De plus, un quadrilatère ABCD, dont les diagonales se coupent en P est orthodiagonal si et seulement si les centres des cercles circonscrits des triangles ABP, BCP, CDP et DAP sont les milieux des côtés du quadrilatère[5].

Comparaison avec les quadrilatères circonscriptiblesModifier

Certaines caractérisations métriques des quadrilatères circonscriptibles et des quadrilatères orthodiagonaux sont très similaires, comme on peut le voir dans le tableau ci-dessous. Les notations des longueurs des côtés a, b, c, d, les rayons des cercles circonscrits R1, R2, R3, R4, et les hauteurs h1, h2, h3, h4 sont les mêmes que ci-dessus dans les deux types de quadrilatères.

Quadrilatère circonscriptible Quadrilatère orthodiagonal
   
   
   

AireModifier

L'aire S d'un quadrilatère orthodiagonal est égale à la moitié du produit des longueurs p et q des diagonales [10] :

 

Réciproquement, tout quadrilatère convexe dont l'aire vérifie cette relation est nécessairement orthodiagonal[5].

Étant données deux longueurs p et q, les quadrilatères ayant p et q pour longueurs de diagonales ont une aire maximale (égale à  ) lorsqu'ils sont orthodiagonaux. On en déduit que les quadrilatères de diamètre donné ont une aire maximale lorsqu'ils sont ortho- et équi-diagonaux (des pseudo-carrés) [11].

Autres propriétésModifier

  • Les quadrilatères orthodiagonaux sont les seuls quadrilatères pour lesquels les longueurs des côtés et l'angle formé par les diagonales ne déterminent pas uniquement l'aire[3]. Par exemple, soient deux losanges ayant même longueur de côté. Leurs diagonales se coupent à angle droit, mais si l'un a un angle aigu plus petit que celui de l'autre, alors ils auront des aires différentes (l'aire du premier tendant vers zéro lorsque l'angle aigu tend vers zéro).
  • Le théorème de Van Aubel affirme que pour un quadrilatère quelconque, si l'on construit vers l'extérieur un carré à partir de chacun de ses côtés, les centres des quatre carrés ainsi construits forment un quadrilatère à la fois équidiagonal et orthodiagonal.
  • Chaque côté d'un quadrilatère orthodiagonal a au moins un point commun avec le cercle des points de Pascal[12].

Quadrilatères orthodiagonaux inscriptiblesModifier

Rayon du cercle circonscrit et aireModifier

On suppose que le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère orthodiagonal inscriptible (dont les sommets appartiennent à un même cercle) divise celles-ci en segments de longueurs respectives p1, p2 et q1, q2 ; alors, d'après la proposition 11 du Livre des Lemmes d'Archimède[13]:

 ,

D est le diamètre du cercle circonscrit. La relation se déduit du fait que les diagonales forment des cordes perpendiculaires d'un cercle. On obtient alors une expression du rayon du cercle circonscrit R :

 ,

soit en fonction des longueurs des côtés du quadrilatère[2],

 

On a alors

 

Ainsi, d'après la relation d'Euler dans le quadrilatère, le rayon du cercle circonscrit peut être exprimé en termes des longueurs des diagonales p et q, et de la distance x entre les milieux des diagonales :

 

On déduit également la formule de l'aire S d'un quadrilatère orthodiagonal cyclique en fonction des quatre côtés en combinant le théorème de Ptolémée et la formule de l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal vue ci-dessus. On a finalement[14] :

 

Autres propriétésModifier

Dans un quadrilatère orthodiagonal inscriptible :

  • l'anticentre (symétrique du centre du cercle circonscrit par rapport au centre de gravité) est confondu avec le point d'intersection des diagonales,
  • la perpendiculaire à un côté passant par le point d'intersection des diagonales coupe le côté opposé en son milieu (théorème de Brahmagupta),
  • la distance du centre du cercle circonscrit à n'importe quel côté est égale à la moitié de la longueur du côté opposé
  • la distance entre les milieux des diagonales est égale à la distance entre le centre circonscrit et le point d'intersection des diagonales[2].
 
  est un quadrilatère orthodiagonal,   et   sont des rectangles dont les côtés sont parallèles aux diagonales du quadrilatère.

Ensembles infinis de rectangles inscritsModifier

 
  est un quadrilatère orthodiagonal.   et   sont des points de Pascal formés par le cercle  ,   est le cercle des points de Pascal qui définit le rectangle   .   et   sont des points Pascal formés par le cercle  ,   est le cercle aux points de Pascal qui définit le rectangle   .

On peut inscrire dans tout quadrilatère orthodiagonal deux ensembles infinis de rectangles :

  • un ensemble de rectangles dont les côtés sont parallèles aux diagonales du quadrilatère
  • un ensemble de rectangles définis par des cercles de points de Pascal[15].

Lien externeModifier

(en) Eric W. Weisstein, « Eight Point Circle Theorem », sur MathWorld

RéférencesModifier

  1. (en) Martin Josefsson, « Calculations Concerning the Tangent Lengths and Tangency Chords of a Tangential Quadrilateral », Forum Geometricorum, vol. 10,‎ , p. 119-130 (lire en ligne [PDF])
  2. a b et c (en) Nathan Altshiller-Court, College geometry : an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle, Dover Publications, (ISBN 0-486-45805-9 et 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045, lire en ligne), pp.136-138
  3. a et b (en) Douglas W. Mitchell, « 93.32 The area of a quadrilateral », The Mathematical Gazette, vol. 93, no 527,‎ , p. 306–309 (ISSN 0025-5572 et 2056-6328, DOI 10.1017/S0025557200184906, lire en ligne, consulté le )
  4. (en) Dan Ismailescu et Adam Vojdany, « Class Preserving Dissections of Convex Quadrilaterals », Forum Geometricorum, vol. 9,‎ , p. 195-211 (lire en ligne [PDF])
  5. a b c d e f et g (en) Martin Josefsson, « Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals », Forum Geometricorum, vol. 12,‎ , p. 13-25 (lire en ligne [PDF])
  6. (en) L. Brand, « The eight-point circle and the nine-point circle », Amer. Math. Monthly, no 51,‎ , p. 84–85
  7. Ross Honsberger, Joyaux mathématiques, vol. 2, CEDIC, coll. « Formation des maîtres en mathématiques », , chap. 2 (« Quatre petits joyaux de la géométrie »), p. 23-26
  8. Jean-Louis Ayme, « DU CERCLE DES HUIT POINTS AU CERCLE DES NEUF POINTS »
  9. (en) Maria-Flavia Mammana, Biagio Micale et Mario Pennisi, « The Droz-Farny Circles of a Convex Quadrilateral », Forum Geometricorum, vol. 11,‎ , p. 109-119 (lire en ligne [PDF])
  10. (en) J. Harries, « Area of a quadrilateral », The Mathematical Gazette, vol. 86, no 506,‎ , p. 310–311 (ISSN 0025-5572 et 2056-6328, DOI 10.2307/3621873, lire en ligne, consulté le )
  11. Charles AUDET, Pierre HANSEN, Frédéric MESSINE, « La saga des trois octogones », DOSSIER POUR LA SCIENCE N° 91,‎ , p. 23 (lire en ligne)
  12. (en) David Fraivert, « Properties of a Pascal Points Circle in a Quadrilateral with Perpendicular Diagonals », Forum Geometricorum, vol. 17,‎ , p. 509-526 (lire en ligne [PDF])
  13. Charles T. Salkind, Challenging problems in geometry, Dover Publications, (ISBN 0-486-69154-3 et 978-0-486-69154-1, OCLC 33968968, lire en ligne), #4-23
  14. (en) Martin Josefsson, « Properties of Pythagorean quadrilaterals », The Mathematical Gazette, vol. 100, no 548,‎ , p. 213–224 (p.222) (ISSN 0025-5572 et 2056-6328, DOI 10.1017/mag.2016.57, lire en ligne, consulté le )
  15. (en) David Fraivert, « A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles », Journal for Geometry and Graphics, vol. 23, no 1,‎ , p. 5-27 (lire en ligne [PDF])