Théorème de Kürschák

En arithmétique, le théorème de Kürschák, dû à József Kürschák, énonce que les tranches de la série harmonique ne sont jamais entières, sauf si on ne considère que le premier terme.

Énoncé

Théorème de Kürschák — Si m et n sont deux entiers tels que 0 < m ≤ n, alors $\sum _{i=m}^{n}{\frac {1}{i}}$ est un entier (si et) seulement si m = n = 1.

Démonstration

Il est clair que pour m = n = 1, on obtient une valeur entière. Supposons maintenant n ≥ 2. Si m = n, le problème est résolu puisque 1/n n'est pas entier. Supposons donc m < n et notons 2^r la plus grande puissance entière de 2 divisant au moins un entier compris (au sens large) entre m et n. On a r ≥ 1, car il y a au moins un entier pair entre m et n. En fait, 2^r divise un unique entier compris entre m et n. En effet, s'il existait k = 2^r(2s + 1) < k' = 2^r(2t + 1) compris entre m et n, alors 2^r(2s + 2) = 2^{r + 1}(s + 1) serait compris entre m et n, ce qui contredirait la définition de r.

On en conclut que $\sum _{i=m}^{n}{\frac {1}{i}}$ s'écrit sous la forme ${\frac {A}{2^{r}B}}$, où $A$ et $B$ sont impairs ($2^{r}B$ étant le PPCM des m, …, n), donc que cette somme n'est pas entière.

Historique

Une version affaiblie de ce résultat, correspondant au cas où m = 1, a été prouvée en 1915 par Taeisinger. Kürschák a ensuite traité le cas général en 1918.

Généralisation

En 1932, Paul Erdős généralise ce résultat aux suites harmoniques quelconques.