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En mathématiques, le n-ième nombre harmonique est la somme des inverses des n premiers entiers naturels non nuls :

.

Ce nombre rationnel est aussi égal à n fois l'inverse de la moyenne harmonique de ces entiers, ainsi qu'à la n-ième somme partielle de la série harmonique.

Les nombres harmoniques ont été étudiés pendant l'Antiquité et sont importants dans plusieurs domaines de la théorie des nombres. Ils apparaissent dans de nombreux problèmes d'analyse combinatoire.

Sommaire

Table des premiers nombres harmoniquesModifier

Valeur de n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valeur de Hn[1] 0[2] 1                  
Valeur approchée de Hn 0 1 1,5 1,8 2,1 2,3 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

Les numérateurs et dénominateurs de ces rationnels forment, à partir de n = 1, les suites d'entiers  A001008 et  A002805 de l'OEIS.

La sous-suite des numérateurs premiers est 3, 11, 137, 761, 7 129, … ( A067657) et les indices correspondants sont 2, 3, 5, 8, 9, … ( A056903).

Comportement asymptotiqueModifier

 
Les nombres harmoniques   en rouge et leur limite asymptotique   en bleu.

La suite des nombres harmoniques croît lentement.

La série harmonique diverge ; sa somme est +∞. On a le développement asymptotique suivant :

 

  est la constante d'Euler-Mascheroni ; plus généralement, la formule d'Euler-Maclaurin donne :

 

où les   sont les nombres de Bernoulli.

PropriétésModifier

 , où   est un nombre de Stirling de première espèce.
 [3].

Le dénominateur de Hn (pour n ≥ 1) est divisible par[4]   donc (en omettant H0 = 0) le seul nombre harmonique entier est H1 = 1. D'après le théorème de Kürschák, H1 est même la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière.

Le postulat de Bertrand permet de démontrer[5] que les deux seuls autres nombres harmoniques décimaux sont H2 = 1,5 et H6 = 2,45.

Pour tout nombre premier p ≥ 5, le numérateur de Hp–1 est divisible par p2 : voir « Théorème de Wolstenholme ».

Euler a donné la représentation intégrale suivante[6] :

 ,

en utilisant l'identité

 ,

ce qui fournit un prolongement méromorphe  . En fait,

 ,

ψ est la fonction digamma.

GénéralisationModifier

On définit le n-ième nombre harmonique généralisé Hn,r d'exposant r comme la n-ième somme partielle de la série de Riemann d'exposant r :

 .

Pour tout réel r > 1, cette suite converge vers la valeur en r de la fonction zêta de Riemann :

 .

D'autres notations existent, comme H(r)
n
, prêtant à confusion avec les nombres hyperharmoniques (en)[7].

Les numérateurs des nombres harmoniques généralisés d'exposant 2 sont appelés les nombres de Wolstenholme.

Exemples d'utilisationModifier

Les nombres harmoniques apparaissent naturellement dans le problème du collectionneur de vignettes en théorie des probabilités.

Notes et référencesModifier

  1. (en) Ronald L. Graham, Donald E. Knuth et Oren Patashnik, Concrete Mathematics, , 2e éd. (1re éd. 1989) (lire en ligne), p. 273.
  2. Somme vide.
  3. Voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  4. Graham, Knuth et Patashnik 1994, p. 275 et ex. 21 p. 311.
  5. (en) Julian Havil (de), Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, (1re éd. 2003) (ISBN 978-0-691-14133-6), p. 24-25.
  6. (en) C. Edward Sandifer, How Euler Did It, MAA, (ISBN 978-0-88385563-8, lire en ligne), p. 206.
  7. (en) Eric W. Weisstein, « Harmonic Number », sur MathWorld.