Théorème de Froda

En analyse réelle, le théorème de Froda, redécouvert en 1929 par le mathématicien roumain Alexandru Froda mais dont des versions plus générales avaient été trouvées de 1907 à 1910 par Grace Chisholm Young et William Henry Young, assure que l'ensemble des points de discontinuité de première espèce d'une fonction réelle d'une variable réelle (définie sur un intervalle) est au plus dénombrable[1].

Discontinuités de première espèceModifier

En un point x où une fonction f est discontinue, la discontinuité est dite de première espèce si f admet en x une limite à gauche et une limite à droite finies. Il est de plus supposé que l'une (au moins) de ces limites est distincte, soit de l'autre limite, soit de la valeur f(x) (sans quoi il n'y a pas de discontinuité). En toute généralité, il faut distinguer parmi les discontinuités de première espèce deux types différents, selon que f(x) soit une des deux limites latérales ou non.

Remarquons que pour une fonction monotone, ce type de discontinuité est le seul possible (et l'ensemble de ces points peut être un ensemble au plus dénombrable arbitraire[2],[3],[4]). Il en va de même, plus généralement, pour toute fonction réglée à valeurs dans un espace de Banach.

DémonstrationModifier

Soit   une fonction réelle sur un intervalle, dont on note   l'ensemble des points de discontinuité de première espèce. Si  , alors on définit l'oscillation de f en   par   , qui est bien définie puisque les limites de f à gauches et à droites en   existent.

Pour tout  , notons  . Considérons alors un entier naturel   non nul, et montrons que   est discret.

  • Soit  . Par hypothèse, f admet une limite à droite en  . Ainsi, au voisinage de   à droite, f prend ses valeurs dans  . En particulier, tout point de discontinuité de première espèce au voisinage de   à droite a son oscillation majorée par   ; ceci montre que   ne rencontre pas un voisinage à droite de  .
  • En effectuant le même raisonnement sur la gauche de  , on conclut que   est un point isolé de  . Ce dernier est donc un sous-ensemble discret de  , donc dénombrable.

Finalement,   est une union dénombrable d'ensembles au plus dénombrable ; donc   est au plus dénombrable.

Cette preuve montre que l'énoncé reste vrai pour une fonction à valeurs dans n'importe quel espace métrique[5].

GénéralisationModifier

La version antérieure des Young[6],[7],[8] est nettement plus forte que celle de Froda :

Sauf pour un ensemble au plus dénombrable de réels x, l'ensemble des valeurs d'adhérence à gauche de f au point x est égal à celui à droite et f(x) leur appartient.

Notes et référencesModifier

  1. Alexandre Froda, Sur la distribution des propriétés de voisinage des fonctions de variables réelles : Première thèse, Paris, Hermann, (lire en ligne), p. 18 : « Une fonction uniforme de variable réelle ne peut présenter, qu'un ensemble fini ou dénombrable de discontinuités de première espèce.On était loin d'y voir une propriété appartenant à toute fonction uniforme, puisque l'on démontrait, par exemple, indépendamment, que « Une fonction à variation bornée ne peut avoir, au plus, qu'une infinité dénombrable de discontinuités » et que « Tous les points de discontinuité d'une fonction à variation bornée sont de première espèce », sans remarquer que la première propriété n'est qu'une conséquence de la seconde. »
  2. (en) Bernard R. Gelbaum et John M. H. Olmsted, Counterexamples in Analysis, Dover, (1re éd. 1964) (lire en ligne), p. 28, § 18.
  3. (en) Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner et Andrew M. Bruckner (en), Elementary Real Analysis, vol. 1, www.classicalrealanalysis.com, , 2e éd. (1re éd. 2001, Prentice-Hall) (lire en ligne), p. 229, exemple 5.62.
  4. Exercice corrigé sur Wikiversité.
  5. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, prop. 13.2 du chap. V, p. 147 (ou du chap. II, p. 151 de la traduction en anglais).
  6. (en) Andrew M. Bruckner (en) et Brian S. Thomson, « Real variable contributions of G. C. Young and W. H. Young », Expositiones Mathematicae, vol. 19, no 4,‎ , p. 337-358 (lire en ligne) : § 6, p. 344-346.
  7. (en) E. F. Collingwood (en) et A. J. Lohwater (en), The Theory of Cluster Sets, CUP, , 224 p. (ISBN 978-0-521-60481-9, lire en ligne), p. 15.
  8. (en) W. H. Young, « On the discontinuities of a function of one or more real variables », Proc. London Math. Soc., 2e série, vol. 8, no 1,‎ , p. 117-124 (DOI 10.1112/plms/s2-8.1.117). Voir aussi (en) Henry Blumberg, « A theorem on semi-continuous functions », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 24, no 8,‎ , p. 369-416 (lire en ligne).