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Théorème de la limite monotone

Le théorème de la limite monotone est un théorème d'analyse selon lequel les éventuelles discontinuités d'une fonction numérique monotone sont « par sauts » et les suites monotones possèdent une limite.

Énoncé pour les fonctionsModifier

Soient ]a, b[ un intervalle réel ouvert non vide (borné ou non :  ) et   une fonction croissante. Alors[1],[2] :

  • f admet en b une limite à gauche, qui est finie si f est majorée et qui vaut +∞ sinon.
  • f admet en a une limite à droite, qui est finie si f est minorée et qui vaut –∞ sinon.
  • f admet en tout point x de ]a, b[ une limite à droite et une limite à gauche, qu'on note respectivement f(x+) et f(x) ; elles sont finies et vérifient  .

Plus généralement[3] :

Soient   une partie de  ,   une application croissante et  .

  • Si   est adhérent à   alors
     .
  • Si   est adhérent à   alors
     .

Le théorème analogue pour les fonctions décroissantes s'en déduit en remplaçant f par f ; il convient d'inverser le sens des inégalités et d'échanger « minorée » et « majorée » ainsi que « +∞ » et « –∞ ».

Énoncé pour les suitesModifier

Lorsqu'on prend   et   dans l'énoncé général ci-dessus, on obtient :

Soit   une suite croissante de réels. Alors,  . Par conséquent :

  • si la suite est majorée alors elle est convergente ;
  • si la suite n'est pas majorée alors elle tend vers +∞.

Le théorème analogue pour les suites décroissantes s'en déduit en remplaçant   par  .

Notes et référencesModifier

  1. E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, , p. 119-120, corollaires.
  2. F. Benoist, B. Rivet, S. Maffre, L. Dorat et B. Touzillier, Mathématiques ECS 1re année, Dunod, coll. « Le compagnon », (lire en ligne), p. 396.
  3. Ramis, Deschamps et Odoux 1976, p. 119, ne l'énoncent et le démontrent que pour  , mais la preuve du cas général est identique : voir par exemple « Théorème de la limite monotone » sur Wikiversité.

Articles connexesModifier