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Théorème de Buchdahl

Le théorème de Buchdahl (en anglais : Buchdahl theorem) est le théorème qui énonce qu'en relativité générale, la compacité maximale d'un objet de fluide parfait, à symétrie sphérique et statique est : , où et sont respectivement la masse et le rayon de l'objet et où et sont respectivement la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière dans le vide[1]. Le rayon est dit rayon de Buchdahl[2]. Ce théorème montre qu'en relativité générale, une boule de rayon fixé ne peut contenir qu'une masse limitée[3],[4]. Un énoncé alternatif de ce théorème est que le décalage gravitationnel vers le rouge depuis la surface d'une étoile statique ne peut être supérieur à 2[4],[5],[6]. Un corollaire de ce théorème est qu'en relativité générale, il existe un écart (gap) de compacité entre une étoile de fluide parfait et un trou noir dont la compacité est [1].

Historique modifier

En , Karl Schwarzschild (-) publie successivement[7],[8] deux métriques, solutions exactes de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein[9]. Ensemble, elles permettent de modéliser le champ gravitationnel à l'extérieur, à la surface et à l'intérieur d'une étoile telle que le Soleil. L'étoile est modélisée comme une boule de fluide parfait à densité constante, c'est-à-dire incompressible. La métrique externe s'applique à l'extérieur de l'étoile[9] ; la métrique interne, à l'intérieur de celle-ci[9]. Les deux métrique sont raccordables à la surface de l'étoile. Schwarzschild met en évidence que le rayon de l'étoile doit être supérieur à 9⁄8 fois son rayon de Schwarzschild[10].

L'éponyme du théorème de Buchdahl[11],[12] est Hans A. Buchdahl (en) (1919-2010) qui a mis l'inégalité en évidence en [12],[13].

Désignations alternatives modifier

Le théorème de Buchdahl est aussi désigné comme l'inégalité de Buchdahl (en anglais : Buchdahl inequality[14]) et comme la limite de Buchdahl (Buchdahl limit[15]).

Expressions modifier

L'inégalité s'écrit :

 

ou

 ,

avec :

En unités géométriques, c'est-à-dire avec :

 ,

l'inégalité s'écrit :

 ,

ou

 .

Un objet qui ne vérifie pas la relation s'effondre gravitationnellement.

Hypothèses modifier

Le théorème est basé sur les hypothèses suivantes : l'étoile est statique[16] et à symétrique sphérique[16] ; son intérieur est décrit par un fluide parfait[16] de densité d'énergie   positive[16] et de pression   positive[16], et dont la densité d'énergie est une fonction monotone décroissante de la coordonnée radiale  [16] :

 [17].

Extensions modifier

Le théorème a été étendu afin d'inclure à la fois une charge et une constante cosmologique[18]. Il a été étendu à des espaces-temps de plus de quatre dimensions[18] incluant une constante cosmologique non nulle[18]. Il a été généralisé en gravitation en  [18].

Notes et références modifier

  1. ↑ a et b Alho et al. 2022, résumé.
  2. ↑ André et Lemos 2021, p. ex. I, p. 2, col. 1.
  3. ↑ Beig et Schmidt 2000, sec. 5, § 5.3, p. 369.
  4. ↑ a et b Bičák 2006, sec. 7, p. 172, col. 1.
  5. ↑ Lindblom 1984, I, p. 364, col. 1-2.
  6. ↑ Steane 2021, partie III, chap. 18, sec. 18.1, introduction, p. 252.
  7. ↑ Schwarzschild 1916a.
  8. ↑ Schwarzschild 1916b.
  9. ↑ a b et c Ayres 2016, p. 77.
  10. ↑ Ayres 2016, p. 78.
  11. ↑ Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009, chap. 12, § 12.4, p. 292-293.
  12. ↑ a et b Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. Buchdahl (théorème de), p. 93, col. 2.
  13. ↑ Buchdahl 1959.
  14. ↑ (en) Anadijiban Das et Andrew DeBenedictis, The General Theory of Relativity: A Mathematical Exposition, New York et Londres, Springer, , XXVI-678 p. (ISBN 978-1-4614-3657-7 et 978-1-4899-8717-4), p. 252 (lire en ligne [html])
  15. ↑ (en) Thomas W. Baumgarte et Stuart L. Shapiro, Numerical Relativity : Solving Einstein's Equations on the Computer, Cambridge et New York, Cambridge University Press, , XVIII-698 p. (ISBN 978-0-521-51407-1, OCLC 496954929, lire en ligne), p. 16, n. 22 (lire en ligne [html])
  16. ↑ a b c d e et f Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365.
  17. ↑ Ferrari, Gualtieri et Pani 2020, § 16.3.8, p. 365 (16.231).
  18. ↑ a b c et d Wright 2016, sec. 1, p. 2.

Voir aussi modifier

Bibliographie modifier

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Publications originales modifier

Études modifier

Cours d'enseignement supérieur modifier

Dictionnaires et encyclopédies modifier

Articles connexes modifier

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