Théorème de Borel

théorème d'analyse

En mathématiques, le théorème de Borel[1],[2],[3],[4],[5], ou lemme de Borel[6], est un résultat d'analyse, sur l'existence de fonctions de série de Taylor arbitraire.

Il a été démontré en 1884 par Giuseppe Peano[7],[8] et en 1895 par Émile Borel[9]. Auparavant, en 1876, Paul du Bois-Reymond[10] avait donné un premier exemple d'une série de Taylor divergente en tout point non nul. Le théorème de Borel généralise ce résultat.

Énoncé simpleModifier

Pour toute suite   de nombres complexes, il existe une fonction   de classe  , d'une variable réelle et à valeurs complexes, définie au voisinage de 0, telle que

 

ConséquenceModifier

Une conséquence de ce théorème est qu'il existe des fonctions différentes de leur série de Taylor sur tout voisinage de 0 : il suffit par exemple de prendre la fonction   associée à la suite  .

Énoncé généralModifier

Soit   un ouvert de   et   une suite de fonctions de classe   à valeurs complexes sur  . Alors il existe une fonction   de classe   à valeurs complexes sur  , solution de l'équation aux dérivées partielles :

 

Il existe une preuve constructiviste de ce résultat[11].

Notes et référencesModifier

  1. Claude Sabbah, Distributions dans le sillage de Laurent Schwartz, éd. École Polytechnique, 2003, p. 3.
  2. Jean-Michel Bony, Cours d'analyse : théorie des distributions et analyse de Fourier, éd. École Polytechnique, 2001, p. 76.
  3. Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions], 2010, p. 99.
  4. Alain Chenciner, Courbes algébriques planes, Springer, 2007, p. 74.
  5. Dany-Jack Mercier et Jean-Étienne Rombaldi, Annales du CAPES externe 1999 à 2005 : 15 problèmes corrigés, Publibook, 2005, p. 127.
  6. Serge Alinhac et Patrick Gérard, Opérateurs pseudo-différentiels et théorème de Nash-Moser, EDP Sciences, 1991, p. 31.
  7. (it) A. Genocchi et G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale, Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragraphe 67.
  8. (en) Ádám Besenyei, « Peano's Unnoticed Proof of Borel's Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 121, no 1,‎ , p. 69-72 (lire en ligne).
  9. É. Borel, Sur quelques points de la théorie des fonctions, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 12 (1895) 9-55.
  10. (de) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. k. Bayer. Akad. Wiss., math.-phys. Klasse (1876) 225-237, ou bien Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
  11. (en) Martin Golubitsky (de) et Victor Guillemin, Stable mappings and their singularities, New York, Springer, coll. « GTM » (no 14), , 3e éd., 209 p. (ISBN 978-0-387-90073-5).

Articles connexesModifier