Théorème d'équidistribution

En mathématiques, le théorème d'équidistribution exprime que la suite des restes modulo 1 des multiples d'un nombre irrationnel :

Illustration du remplissage de l'intervalle unité (axe horizontal) avec les n premiers termes prédit par le théorème d'équidistribution avec quatre nombres irrationnels connus, pour n de 0 à 999 (axe vertical). Les 113 bandes distinctes pour π sont dues à la proximité de sa valeur avec le nombre rationnel 355/113. De même, les 7 groupes distincts sont dus au fait que π vaut environ 22/7.
(Figure en taille maximale)

a, 2a, 3a,... mod 1

est équiditribuée sur le cercle $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$. C'est un cas particulier du théorème ergodique, pour lequel on prend la mesure d'angle normalisée $\mu ={\frac {\mathrm {d} \theta }{2\pi }}$.

Histoire

Alors que ce théorème a été prouvé indépendamment en 1909 et 1910 par Hermann Weyl, Wacław Sierpiński et Piers Bohl, des variantes de ce théorème sont toujours étudiées à ce jour.

En 1916, Weyl a démontré que la suite a, 2²a, 3²a,... mod 1 est équidistribuée sur l'intervalle [0,1]. En 1937, Ivan Vinogradov a prouvé que la suite p_n a mod 1 est également équidistribuée, où p_n est le n-ième nombre premier. La preuve de Vinogradov est une application de sa démonstration de la conjecture faible de Goldbach, qui exprime que tout nombre impair suffisamment grand est la somme de trois nombres premiers.

George Birkhoff, en 1931, et Aleksandre Khintchine, en 1933, ont démontré que la suite de terme général x + na est, pour presque tout x, est équidistribuée sur tout sous-ensemble mesurable au sens de Lebesgue de l'intervalle unitaire. Les généralisations correspondantes des résultats de Weyl et Vinogradov ont été prouvées par Jean Bourgain en 1988.

Plus précisément, Khinchin a montré l'identité

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+ka){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy$

pour presque tout x et pour toute fonction intégrable au sens de Lebesgue f. Dans les formulations modernes, on se demande dans quelles conditions l'identité

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f((x+b_{k}a){\bmod {1}})=\int _{0}^{1}f(y)\,dy$

a lieu, étant donné une suite quelconque (b_k).

Un résultat remarquable est que la séquence 2^k a mod 1 est équidistribuée pour presque tout a irrationnel, mais pas pour tout a. De même, pour la suite b_k = 2^k a, pour tout irrationnel a et presque tout x, il existe une fonction ƒ pour laquelle la somme du membre de gauche n'a pas de limite. En ce sens, cette suite est une suite de moyenne universellement mauvaise, par opposition à la suite définie par b_k = k, qui est appelée une suite de moyenne universellement bonne, car elle ne présente pas ce dernier défaut.

Un résultat général puissant est le critère de Weyl, qui montre que l'équidistribution équivaut à avoir une estimation non triviale des sommes exponentielles formées avec les termes de la suite comme exposants. Pour le cas de multiples de a, le critère de Weyl réduit le problème à la sommation de suites géométriques finies.

Voir aussi

• Aapproximation diophantienne
• Suite à discrépance faible
• Théorème d'approximation de Dirichlet
• Théorème des trois longueurs

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Equidistribution theorem » (voir la liste des auteurs).

Références historiques

• P. Bohl, « Über ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes Problem », J. reine angew. Math., vol. 135,‎ 1909, p. 189-283
• H. Weyl, « Über die Gibbs'sche Erscheinung und verwandte Konvergenzphänomene », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 330,‎ 1910, p. 377-407 (DOI 10.1007/bf03014883, S2CID 122545523, lire en ligne)
• W. Sierpinski, « Sur la valeur asymptotique d'une certaine somme », Bull Intl. Acad. Polonaise des Sci. et des Lettres, Cracovie, a,‎ 1910, p. 9-11
• H. Weyl, « Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins », Math. Ann., vol. 77, n^o 3,‎ 1916, p. 313-352 (DOI 10.1007/BF01475864, S2CID 123470919, lire en ligne)
• G. D. Birkhoff, « Proof of the ergodic theorem », Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 17, n^o 12,‎ 1931, p. 656-660 (PMID 16577406, PMCID 1076138, DOI 10.1073/pnas.17.12.656 , Bibcode 1931PNAS...17..656B, lire en ligne)
• A. Ya. Khinchin, « Zur Birkhoff's Lösung des Ergodensproblems », Math. Ann., vol. 107,‎ 1933, p. 485-488 (DOI 10.1007/BF01448905, S2CID 122289068)

Références modernes

• Joseph M. Rosenblatt et Máté Weirdl, « Pointwise ergodic theorems via harmonic analysis », dans Karl E. Petersen et Ibrahim Salama (éd.), Ergodic Theory and Harmonic Analysis – Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, Cambridge University Press, 1995 (ISBN 0-521-45999-0, DOI 10.1017/CBO9780511574818) : une étude approfondie des propriétés ergodiques des généralisations du théorème d'équidistribution des opérateurs de décalage sur l'intervalle unité ; l'accent est mis sur les méthodes développées par Bourgain.
• Elias M. Stein et Rami Shakarchi, Fourier Analysis. An Introduction, Princeton University Press, 2003, 328 p. (ISBN 9-780-691-11384-5, présentation en ligne), p. 105-113 : démonstration du théorème de Weyl fondée sur l'analyse de Fourier.