Symbole de Jacobi

fonction de la théorie des nombres

Le symbole de Jacobi est utilisé en mathématiques dans le domaine de la théorie des nombres. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien prussien Charles Gustave Jacob Jacobi[1]. C'est une généralisation du symbole de Legendre.

DéfinitionModifier

Le symbole de Jacobi   est défini pour tout entier relatif   et tout entier naturel impair   comme produit de symboles de Legendre, en faisant intervenir la décomposition en facteurs premiers de   : pour tout   et tous nombres premiers impairs   (non nécessairement distincts),

 .

PropriétésModifier

Soient   positifs impairs et   entiers quelconques. Alors[2] :

  •   ;
  • si   est premier, le symbole de Jacobi   est simplement le symbole de Legendre ;
  • si   et   ne sont pas premiers entre eux,   ;
  • si   et   sont premiers entre eux,   ;
  •   ;
  •   ;
  • si ab (mod n) alors   ;
  • généralisation de la loi de réciprocité quadratique :
    • théorème fondamental :  ,
    • première loi complémentaire : ,
    • deuxième loi complémentaire : .

RésidusModifier

Les énoncés généraux sur les résidus quadratiques faisant intervenir le symbole de Legendre ne s'étendent pas au symbole de Jacobi : si   alors a n'est pas un carré mod n mais si  , a n'est pas nécessairement un carré mod n[2]. Par exemple :   mais 2 n'est pas un carré mod 9 (ni même mod 3).

Notes et référencesModifier

  1. (de) C. G. J. Jacobi, « Uber die Kreisteilung und ihre Anwendung auf die Zahlentheorie », Bericht Ak. Wiss. Berlin,‎ , p. 127-136.
  2. a et b Voir par exemple :

Voir aussiModifier

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