Symétrisation de Steiner

En géométrie affine, la symétrisation de Steiner est une géométrie visant à remplacer une partie quelconque d'un espace affine par une partie admettant des propriétés de symétrie. Cette transformation a été utilisée pour démontrer certaines inégalités isopérimétriques.

Elle est nommée ainsi en l'honneur de Jakob Steiner.

Définition

Dans un espace affine, soit H un hyperplan et δ une direction non parallèle à H. Soit K une partie de l'espace affine. On définit alors le symétrisé de Steiner $st_{H,\delta }(K)$ par :

pour toute droite D parallèle à δ :

• si K ∩ D = ∅ alors $st_{H,\delta }(K)\cap D=\varnothing ,$
• si K ∩ D ≠ ∅ alors $st_{H,\delta }(K)\cap D$ est le segment porté par D, de milieu situé en H et de longueur, sur D, égale à celle de K ∩ D.

Conséquences

• On peut montrer que la symétrisation de Steiner n'est pas continue pour la distance de Hausdorff.
• Pour toute partie K, $st_{H,\delta }(st_{H,\delta }(K))=st_{H,\delta }(K)$
• La symétrisation de Steiner conserve le volume, et elle n'augmente pas le diamètre.
• Elle conserve également la convexité.

• Inégalité isodiamétrique de Bieberbach:

Quel que soit K compact dans un espace euclidien de dimension n, on a

$V(K)\leq 2^{-n}\beta (n)(diam(K))^{n}~,$

où $\beta (n)$ désigne le volume de la boule unité dans l'espace considéré.

Sources

• Marcel Berger, Géométrie [détail des éditions], Tome 1
• (de) Jakob Steiner, « Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze », J. reine angew Math., vol. 18,‎ 1838, p. 281-296 (lire en ligne)