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La stabilité EBSB est une forme particulière de stabilité des systèmes dynamiques étudiés en automatique, en traitement du signal et plus spécifiquement en électrotechnique. EBSB signifie Entrée Bornée/Sortie Bornée : si un système est stable EBSB, alors pour toute entrée bornée, la sortie du système l’est également.

Sommaire

Condition dans le domaine temporelModifier

Un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction transfert est rationnelle et strictement propre[1] est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument intégrable, i.e. si sa norme   existe :

 


En temps discret, un système est stable EBSB si et seulement si sa réponse impulsionnelle est absolument sommable, i.e. si sa norme   existe :

 

DémonstrationModifier

Elle est proposée en temps discret, mais les mêmes arguments s’appliquent en temps continu.

Condition nécessaireModifier

À l’entrée bornée   correspond la sortie   satisfaisant

 

  est le produit de convolution, c'est-à-dire :

 

En particulier  

Ainsi   puisque   est borné.

Condition suffisanteModifier

Considérons une entrée bornée, c'est-à-dire  , et supposons  . Alors la sortie   satisfait

  (par l'inégalité triangulaire)
 

Ainsi   est également borné.

Condition dans le domaine fréquentielModifier

Signal continuModifier

Soit un système linéaire invariant et à temps continu dont la fonction de transfert   est supposée être rationnelle. En notant   les pôles (racines complexes du dénominateur) et   l’abscisse de convergence définie par  , on montre que le système est stable EBSB si et seulement si  .

PreuveModifier

Puisque   est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle  ,

 

et le domaine de convergence est le demi-plan  .


Si le système est stable EBSB, alors   est dans   et il y a convergence en   puisque

 

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent  


Supposons  . Puisque, par l’hypothèse de rationalité,   est de la forme

 

en supposant, pour simplifier, que les pôles de   sont simples. La transformée inverse de Laplace donne

 

qui est dans   et le système est stable EBSB.

Signal discretModifier

Soit un système linéaire invariant et à temps discret dont la fonction de transfert   est supposée être rationnelle. En notant   les pôles et   le module de convergence défini comme le maximum des modules des pôles, on montre que le système est stable EBSB si et seulement si  .

PreuveModifier

Puisque   est la transformée en Z de la réponse impulsionnelle  ,

 

et le domaine de convergence est l’extérieur d’un cercle, soit  .


Si le système est stable EBSB, alors   est dans   et il y a convergence en   puisque

 

qui, par hypothèse, est une quantité finie. Par conséquent  


Supposons  . Puisque, par l’hypothèse de rationalité,   est de la forme

 

en supposant, pour simplifier, que les pôles de   sont simples. L’inverse de la transformée en z donne

 

qui est dans   et le système est stable EBSB.

Critères de StabilitéModifier

Pour déterminer si un système physique représenté par un schéma-bloc est stable ou non, on peut utiliser plusieurs méthodes ou plusieurs critères. Il existe 2 types de critères :

Ces critères permettent uniquement de déterminer si le système est stable ou non, mais ils n'indiquent pas le degré de stabilité, c'est-à-dire si le système est plus ou moins stable. Pour apprécier ce fameux degré de stabilité, on est amené à utiliser d'autres outils tels que les marges de phase et les marges de gain ou le facteur de qualité par exemple.

Notes et référencesModifier

  1. En termes de représentation d'état, cela signifie que l'on se restreint aux systèmes de dimension finie sans terme direct. Par exemple, un système constitué d'un gain pur (resp. d'un dérivateur pur) a pour réponse impulsionnelle la distribution de Dirac (resp. sa dérivée) qui n'est pas une fonction.

Voir aussiModifier