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La transformation en Z est un outil mathématique de l'automatique et du traitement du signal, qui est l'équivalent discret de la transformation de Laplace.

Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie et en automatique pour modéliser des systèmes dynamiques de manière discrète.

Sommaire

DéfinitionModifier

Sa définition mathématique est la suivante : la transformation en Z est une application qui transforme une suite s (définie sur les entiers) en une fonction S d'une variable complexe nommée z, telle que

 

La variable n représente en général le temps discrétisé, la variable complexe z n'est qu'un être mathématique. Lorsqu'on travaille sur s(n) on dit que l'on est dans le domaine temporel, lorsqu'on travaille sur S(z) le domaine est appelé fréquentiel par analogie avec la transformée de Fourier.

Si  , on parle de signal causal. Inversement, si  , on parle de signal anti-causal.

Pour les signaux causaux, on peut aussi utiliser la transformée en Z monolatérale :

 

Existence de la transformée en ZModifier

Le domaine de convergence est le sous-ensemble de   dans lequel la série converge.
Autrement dit, le domaine de convergence de la transformée en   de la suite   est l'ensemble :

 

Le sous-ensemble de   dans laquelle cette série converge absolument est appelé la couronne de convergence[1]. En posant  , il vient :

  avec  

Le domaine de convergence absolue de   est donc une couronne

 

  signifie à chaque fois   ou   et où l'inégalité (large ou stricte)   (resp.  ) est la condition nécessaire et suffisante pour que   ait une limite finie lorsque   (resp.  ) tend vers  . Explicitement[2],

 

Dans toute la suite de l'article, la couronne de convergence   est supposée non vide et les transformées en Z sont valides pour   seulement.

Propriétés de la transformation en ZModifier

On montre les propriétés énoncées ci-dessous[3] :

Linéarité

La transformée en Z d'une combinaison linéaire de deux signaux est la combinaison linéaire des transformées en Z de chaque signal.

 
Décalage temporel

Le décalage temporel de k échantillons d'un signal se traduit par la multiplication de la transformée en Z du signal par z−k.

 
Avance

Lorsqu'on utilise la transformée en Z monolatérale (voir ci-dessus), on obtient

 
Convolution

La transformée en Z d'un produit de convolution est le produit des transformées en Z

 

 .

En effet,

 
Multiplication par une exponentielle
  avec   transformée en Z de la suite  
Multiplication par la variable d'évolution

De façon générale :

 

  signifie que l'on applique k fois à   l'opérateur  

Si l'on écrit cette formule au rang k=1, on obtient la formule de dérivation :

 

Théorème de la valeur initialeModifier

Soit   un signal causal et   sa transformée en Z. Alors :

 

Théorème de la valeur finaleModifier

Soit   un signal causal et   sa transformée en Z. Alors lorsque la limite de gauche existe, on peut écrire :

 

Transformation en Z inverseModifier

La transformée en Z inverse est donnée par :

 

  est un chemin fermé parcouru dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et appartenant entièrement au domaine de convergence.

En pratique, ce calcul s'effectue souvent à l'aide du théorème des résidus et la formule devient dans le cas d'un signal causal :

 

Relation avec les autres transforméesModifier

Transformée de LaplaceModifier

Théorème — Soit x un signal, supposé être une fonction indéfiniment dérivable, et (avec un abus d'écriture, en notant une distribution comme une fonction)

 

le peigne de Dirac (qui appartient à l'espace des distributions tempérées  ). Le signal échantillonné, défini par[4]  , est une distribution qu'on peut écrire sous la forme

 .

La correspondance   est une surjection de la bande de convergence de la transformée de Laplace   du signal échantillonné   (en supposant cette bande de convergence non vide) sur la couronne de convergence de la transformée en Z   de la suite de terme général  , et l'on a

 .

Transformée de Fourier et transformée de Fourier discrèteModifier

Si le cercle unité appartient à la couronne de convergence  , la transformée de Fourier de la suite   s'obtient en prenant la restriction de la transformée en Z de cette suite au cercle unité, c'est-à-dire en posant  . La transformée de Fourier est en effet la fonction  -périodique   (elle est  -périodique si l'on pose   et qu'on prend comme variable la pulsation  ). Si   est une suite de nombres réels, on a  , par conséquent   peut être supposé varier dans l'intervalle  .

La transformée de Fourier peut se définir pour des suites à croissance lente (elle est alors une distribution  -périodique) et la transformée en Z à partir de cette transformée de Fourier plus générale (voir la démonstration ci-dessus)[8].


Il existe également une relation entre la transformée en Z et la transformée de Fourier discrète (TFD). La TFD d'un signal   de support   est obtenue en évaluant   en   (avec  ).

Transformées en Z usuellesModifier

Ci-dessous,   représente l'impulsion unitaire ou « suite de Kronecker » (égale à 1 pour   et à 0 sinon ; elle peut également s'écrire  , où   est le symbole de Kronecker) ; d'autre part,   désigne l'échelon unitaire (égal à 1 pour   et à 0 sinon).

Transformées en Z
Signal   Transformée en Z   Domaine de convergence
1      
2      
3      
4      
5      
6      
7      
8      
9      
10      
11      

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Bourlès 2010, §12.3.5
  2. D'après Lang 1993, §II.2
  3. Bourlès 2010, §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barrière 1966, Chap. II
  4. Bourlès 2010, §10.2.3
  5. On a interverti à une étape du calcul   et  , ce qu'on peut justifier (Schwartz 1965, §V.5)
  6. Bourlès 2010, §12.3.2
  7. Pallu de la Barrière 1966, Chap. 10, §4, Lemme 9.
  8. Bourlès 2010, §§12.3.3, 12.3.5

RéférencesModifier

  • Henri Bourlès, Linear Systems, John Wiley & Sons, , 544 p. (ISBN 1848211627)
  • Serge Lang, Complex Analysis (3rd ed.), Springer, , 458 p. (ISBN 0387978860)
  • Robert Pallu de la Barrière, Cours d'automatique théorique, Dunod,
  • Laurent Schwartz, Méthodes mathématiques pour les sciences physiques, Hermann,

Voir aussiModifier