Série de Bell

En théorie des nombres, les séries de Bell sont des séries formelles utilisées pour étudier les propriétés des fonctions arithmétiques. Elles ont été introduites et développées par Eric Temple Bell.

Définition modifier

Si f est une fonction arithmétique et p un nombre premier, on définit la série de Bell d'indice p de f :

f_{p}(X)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})X^{n}.

Deux fonctions multiplicatives f et g sont égales si (et seulement si), pour tout entier premier p, on a : $f_{p}(X)=g_{p}(X)$ .
Pour deux fonctions arithmétiques f et g, $f_{p}(X)g_{p}(X)=h_{p}(X),$ où h est le produit de convolution de Dirichlet de f et de g.
Si f est complètement multiplicative, alors : $f_{p}(X)={\frac {1}{1-f(p)X}}.$

Voici quelques fonctions arithmétiques usuelles et leurs séries de Bell :

le neutre δ₁ pour la convolution de Dirichlet, i.e. la fonction caractéristique du singleton {1} : $(δ 1) p (X) = 1$ ,
la fonction puissance k-ième $I k$ (qui est complètement multiplicative) : $(I_{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-p^{k}X}},$
la fonction de Möbius $μ : μ p (X) = 1 - X$ ,
la fonction de Liouville $λ : λ p (X) = 1/(1 + X)$ ,
la fonction φ d'Euler : $\varphi _{p}(X)={\frac {1-X}{1-pX}},$
la Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs $σ k$ : $(\sigma _{k})_{p}(X)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)X+p^{k}X^{2}}}.$

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bell series » (voir la liste des auteurs).