Propriété de Baire

En mathématiques, on dit qu'une partie A d'un espace topologique X a la propriété de Baire (nommée d'après René Baire) si elle est égale à un ouvert à un maigre près, c'est-à-dire s'il existe un ouvert U de X tel que la différence symétrique AΔU soit un ensemble maigre[1].

PropriétésModifier

Les parties de X qui ont la propriété de Baire forment une tribu sur X[1], c'est-à-dire un ensemble non vide de parties de X, stable par complémentaires et par unions (ou intersections) dénombrables. Puisque tout ouvert a la propriété de Baire (car l'ensemble vide est maigre), cette tribu contient celle des boréliens.

Si une partie d'un espace polonais a la propriété de Baire, alors le jeu de Banach-Mazur (en) correspondant est déterminé. La réciproque est fausse ; cependant, si tous les ensembles d'une classe adéquate (en) correspondent à des jeux déterminés, alors tous ont la propriété de Baire.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Property of Baire » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) John C. Oxtoby (de), Measure and Category, Springer, coll. « GTM » (no 2), (1re éd. 1980) (lire en ligne), chap. 4 (« The Property of Baire »), p. 19-21.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

(en) « Baire property », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)