Produit restreint

En mathématiques, le produit restreint est une construction de la théorie des groupes topologiques.

Soit $I$ un ensemble ; $S$ un sous-ensemble fini de $I$. Si $G_{i}$ est la donnée d'un groupe localement compact pour chaque $i\in I$, et $K_{i}\subset G_{i}$ un sous-groupe compact ouvert pour chaque $i\in I\setminus S$, alors le produit restreint

$\prod _{i}\nolimits 'G_{i}\,$

est le sous-ensemble du produit de $G_{i}$ composé de tous les éléments $(g_{i})_{i\in I}$ tel que $g_{i}\in K_{i}$ pour tous sauf un nombre fini $i\in I\setminus S$.

On muni ce groupe de la topologie dont une base d'ensembles ouverts sont de la forme

$\prod _{i}A_{i}\,,$

où $A_{i}$ est ouvert dans $G_{i}$ et $A_{i}=K_{i}$ pour tous sauf un nombre fini $i$.

On peut facilement montrer que le produit restreint est lui-même un groupe localement compact. L'exemple le plus connu de cette construction est celui de l'anneau adélique d'un corps global.

Références

• A. Fröhlich et J. W. Cassels, Algebraic number theory, Boston, MA, Academic Press, 1967 (ISBN 978-0-12-163251-9).
• Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory, vol. 322, Berlin, Springer-Verlag, 1999 (ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, zbMATH 0956.11021).