Produit de Gromov

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le produit de Gromov est un concept de la théorie des espaces métriques dû au mathématicien Mikhaïl Gromov. Il est utilisé pour définir les espaces métriques δ-hyperboliques (au sens de Gromov).

Définition

Soit (X, d) un espace métrique et x, y, z ∈ X. Le produit de Gromov de y et z en x, noté (y, z)_x, est défini par

$(y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}.$

Motivation

Étant donnés trois points x, y, z de l'espace métrique X, l'inégalité triangulaire montre qu'il existe trois nombres positifs ou nuls $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ tels que $d(x,y)=a_{1}+a_{2},\ d(x,z)=a_{1}+a_{3},\ d(y,z)=a_{2}+a_{3}$. Les produits de Gromov sont alors $(y,z)_{x}=a_{1},\ (x,z)_{y}=a_{2},\ (x,y)_{z}=a_{3}$.

En géométrie euclidienne, hyperbolique ou sphérique, le produit de Gromov a une interprétation graphique représentée ci-contre : si les points A, B et C ne sont pas alignés, le produit (A, B)_C est égal à la distance p entre C et les points de tangence du cercle inscrit au triangle ABC ; on voit facilement sur le diagramme que c = (a – p) + (b – p), donc p = (a + b – c)/2 = (A,B)_C. Pour tout espace métrique, on peut plonger isométriquement un triplet de points dans le plan euclidien, et appliquer la construction précédente pour obtenir une représentation du produit de Gromov.

Propriétés

• Le produit est commutatif : (y, z)_x = (z, y)_x.
• Il est dégénéré aux extrémités : (y, z)_y = (y, z)_z = 0.
• Pour tous points p, q, x, y et z,

$d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x},$

$0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}},$

${\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q),$

${\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z).$

Points à l' infini

On se place dans l'espace hyperbolique Hⁿ , on fixe un point de base p et on note $x_{\infty }$ et $y_{\infty }$ deux points à l'infini distincts. Alors la limite

$\liminf _{x\to x_{\infty } \atop y\to y_{\infty }}(x,y)_{p}$

existe et est finie ; on l'appelle le produit de Gromov généralisé de $x_{\infty }$ et $y_{\infty }$ (en p). Il est donné par la formule explicite

$(x_{\infty },y_{\infty })_{p}=\log \csc(\theta /2),$

où $\theta$ est l'angle entre les géodésiques partant de p et de directions asymptotiques $x_{\infty }$ et $y_{\infty }$.

Espaces δ-hyperboliques et divergence des géodésiques

Le produit de Gromov peut être utilisé pour définir les espaces hyperboliques : on dit que (X, d) est δ-hyperbolique si pour tous p, x, y et z de X,

$(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

Dans ce cas, le produit de Gromov mesure le temps pendant lequel des géodésiques restent proches ; plus précisément, si x, y et z sont trois points d'un espace δ-hyperbolique, les segments initiaux de longueur (y, z)_x sur les géodésiques allant de x à y et de x à z ne sont pas séparés de plus de 2δ (au sens de la distance de Hausdorff).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Gromov product » (voir la liste des auteurs).
• M. Coornaert, T. Delzant et A. Papadopoulos, Géométrie et théorie des groupes. Les groupes hyperboliques de Gromov, vol. 1441, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1990 (ISBN 3-540-52977-2)
• (en) Ilya Kapovich et Benakli, Nadia, Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001), Providence, RI, Amer. Math. Soc., coll. « Contemp. Math. 296 », 2002, 39–93 p. (MR 1921706), « Boundaries of hyperbolic groups »
• (en) Jussi Väisälä, « Gromov hyperbolic spaces », Expositiones Mathematicae, vol. 23, n^o 3,‎ 2005, p. 187–231 (DOI 10.1016/j.exmath.2005.01.010)