Potentiel de Pöschl-Teller

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En physique mathématique, un potentiel de Pöschl-Teller, nommé d'après les physiciens Herta Pöschl^[1] (crédité comme G. Pöschl) et Edward Teller, est une classe spéciale de potentiels pour lesquels l'équation de Schrödinger à une dimension peut être résolue en termes de fonctions spéciales.

Bien que Pöschl et Teller introduisirent, dans leur article^[2] de 1933, le potentiel sous sa forme générale^[3]

{\displaystyle V(x)={\frac {\nu (\nu -1)}{2\,\sinh ^{2}(x)}}-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,,

pour $\lambda ,\nu >1$ , de nos jours la dénomination « potentiel de Pöschl–Teller » fait plutôt référence au cas symétrique $\nu =1$ pour $\lambda >0$ :

{\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}}\,.

Solutions

Les solutions indépendantes du temps de l'équation (unidimensionnelle) de Schrödinger avec ce potentiel,

{\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi ''(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)}\,,

peuvent alors être déterminées grâce à la substitution $u=\mathrm {tanh} (x)$ qui conduit à l'équation générale de Legendre

\left[(1-u^{2})\psi '(u)\right]'+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+{\frac {2E}{1-u^{2}}}\psi (u)=0

dont les solutions sont les fonctions associées de Legendre ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }(u)}$ et ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }(u)}$ de degré $\lambda \in \mathbb {C}$ et d'ordre $\mu \in \mathbb {C}$ lorsque ${\displaystyle E={-\mu ^{2}/2}}$ .

Potentiel de Pöschl–Teller symétrique pour

\lambda =6

(courbe noir) et ses six valeurs propres (lignes rouges)

{\displaystyle E={-\mu ^{2}/2}}\,,\ \mu =1,2,3,4,5,6

.

Cependant, seules les fonctions ${\displaystyle P_{\lambda }^{-\mu }\circ \tanh }$ pour $(\lambda ,\mu )$ tels que $(\lambda \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\pm (\lambda +1-j))$ ou $(0<\lambda \not \in \mathbb {N} {\text{ et }}\mu =\lambda +1-j)$ , où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$ , sont dans $L^{2}(\mathbb {R} )$ ^[4] et donc des fonctions propres de l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique. De plus, dans le cas $\lambda \in \mathbb {N}$ , la fonction ${\displaystyle P_{\lambda }^{\lambda +1-j}\circ \tanh }$ ne diffère de ${\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }$ que par une constante multiplicative, il s'agit donc d'une seule et même fonction propre.

Par conséquent, l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique n'admet des valeurs propres que pour $\lambda >0$ et ${\displaystyle \mu =\lambda +1-j}$ , où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$ , et ces $\lceil \lambda \rceil$ valeurs propres sont alors $E_{j}={-(\lambda +1-j)^{2}/2}$ , avec les fonctions propres associées ${\displaystyle P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh }$ .

En outre, les données de diffusion à faible énergie peuvent être explicitement calculées^[5].

Dans le cas particulier où $\lambda$ est un entier naturel non nul^{[à vérifier]}, le potentiel est sans réflexion et de tels potentiels peuvent également être solutions N-solitons de l'équation de Korteweg–de Vries.

Potentiel de Rosen-Morse

Un potentiel lié, le potentiel de Rosen-Morse, possède un terme supplémentaire^[6] :

{\displaystyle V(x)=-{\frac {\lambda (\lambda +1)}{2\,\cosh ^{2}(x)}}-g\tanh(x)}\,.

Références

↑ "Edward Teller Biographical Memoir." by Stephen B. Libby and Andrew M. Sessler, 2009 (published in Edward Teller Centennial Symposium: modern physics and the scientific legacy of Edward Teller, World Scientific, 2010.
↑ (de) G. Pöschl et E. Teller, « Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators », Zeitschrift für Physik, vol. 83, n^os 3–4,‎ 1933, p. 143–151 (ISSN 1434-6001 et 1434-601X, DOI 10.1007/bf01331132, Bibcode 1933ZPhy...83..143P, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2018).
↑ Voir la formule « (2b) » de l'article suscité.
↑ En effet, les fonctions ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }}$ divergent en $-1$ ou en $+1$ — donc ne sont pas dans $L^{2}(\mathbb {R} )$ — pour tous les couples $(\lambda ,\mu )\in \mathbb {C} ^{2}$ pour lesquelles elles sont définies sur $(-1,1)$ . D'autre part, les fonctions ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}$ sont non triviales tout en convergeant vers $0$ en $\pm 1$ uniquement pour les couples $(\lambda ,\mu )$ tels que ( $\lambda \in \mathbb {N}$ et $\mu =\pm (\lambda +1-j)$ ) ou ( $0<\lambda \not \in \mathbb {N}$ et $\mu =-(\lambda +1-j)$ ) où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$ .
Voir NIST Digital Library of Mathematical Functions, §14.8 Behavior at Singularities pour les limites en $\pm 1$ .
↑ Pages 244–247 de (en) Siegfried Flügge, Practical Quantum Mechanics, Berlin, Heidelberg, Springer, décembre 1998, 1^re éd., XV, 620 (ISBN 978-3-540-65035-5 et 978-3-642-61995-3, ISSN 1431-0821 et 2512-5257, DOI 10.1007/978-3-642-61995-3 ).
↑ (en) A. O. Barut, A. Inomata et R. Wilson, « Algebraic treatment of second Poschl-Teller, Morse-Rosen and Eckart equations », Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 20, n^o 13,‎ 1987, p. 4083 (ISSN 0305-4470, DOI 10.1088/0305-4470/20/13/017, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2018).

Voir aussi

Articles connexes

Potentiel de Morse

[1] "Edward Teller Biographical Memoir." by Stephen B. Libby and Andrew M. Sessler, 2009 (published in Edward Teller Centennial Symposium: modern physics and the scientific legacy of Edward Teller, World Scientific, 2010.

[Poschl-Teller-2] (de) G. Pöschl et E. Teller, « Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators », Zeitschrift für Physik, vol. 83, n^os 3–4,‎ 1933, p. 143–151 (ISSN 1434-6001 et 1434-601X, DOI 10.1007/bf01331132, Bibcode 1933ZPhy...83..143P, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2018).

[3] Voir la formule « (2b) » de l'article suscité.

[4] En effet, les fonctions ${\displaystyle Q_{\lambda }^{\mu }}$ divergent en $-1$ ou en $+1$ — donc ne sont pas dans $L^{2}(\mathbb {R} )$ — pour tous les couples $(\lambda ,\mu )\in \mathbb {C} ^{2}$ pour lesquelles elles sont définies sur $(-1,1)$ . D'autre part, les fonctions ${\displaystyle P_{\lambda }^{\mu }}$ sont non triviales tout en convergeant vers $0$ en $\pm 1$ uniquement pour les couples $(\lambda ,\mu )$ tels que ( $\lambda \in \mathbb {N}$ et $\mu =\pm (\lambda +1-j)$ ) ou ( $0<\lambda \not \in \mathbb {N}$ et $\mu =-(\lambda +1-j)$ ) où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$ .
Voir NIST Digital Library of Mathematical Functions, §14.8 Behavior at Singularities pour les limites en $\pm 1$ .

[5] Pages 244–247 de (en) Siegfried Flügge, Practical Quantum Mechanics, Berlin, Heidelberg, Springer, décembre 1998, 1^re éd., XV, 620 (ISBN 978-3-540-65035-5 et 978-3-642-61995-3, ISSN 1431-0821 et 2512-5257, DOI 10.1007/978-3-642-61995-3 ).

[6] (en) A. O. Barut, A. Inomata et R. Wilson, « Algebraic treatment of second Poschl-Teller, Morse-Rosen and Eckart equations », Journal of Physics A: Mathematical and General, vol. 20, n^o 13,‎ 1987, p. 4083 (ISSN 0305-4470, DOI 10.1088/0305-4470/20/13/017, lire en ligne, consulté le 4 octobre 2018).

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