En physique, un pendule inversé est un pendule simple. Il présente une position d'équilibre instable s'il est maintenu vertical à 180°, mais cette position est maintenue par un système de contrôle ou par excitation de Kapitza. C'est un problème de physique non linéaire.

Équation du mouvement

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La situation est exactement la même que celle décrite pour le pendule simple, en considérant une tige rigide mais de masse négligeable. On définit donc :

On note les dérivées temporelles par un point :

  et  .

On peut alors établir la période des oscillations :

 .

L'énergie cinétique est :

 .

L'énergie potentielle de gravité :

 .

Si le pendule est laissé libre, on peut écrire la conservation de l'énergie mécanique,  . Alors, on obtient :

 .

La différence avec le pendule simple est que le pendule est en position haute ; cela correspond à un maximum de l'énergie potentielle, c'est-à-dire à un équilibre instable.

Pendule inversé sur un chariot

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Un pendule inversé sur un chariot

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne : en notant x(t) la position du chariot,   l'angle formé entre la tige et la verticale, le système étant soumis à la gravité et à une force F, extérieure et selon l'axe x, le lagrangien est :

 

avec T l'énergie cinétique et V l'énergie potentielle. On a ainsi :

 

avec   la vitesse du chariot et   celle de la masse  . On peut exprimer   et   à partir de x et   :

 
  ce qui s'écrit encore :
 

Le lagrangien est donné par :

 

et les équations du mouvement sont donc :

 


 

En simplifiant ces équations, on obtient les équations, non linéaires, du mouvement du pendule :

 
 

Voir aussi

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Articles connexes

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