Si
f
1
∼
a
g
1
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}}
et
f
2
∼
a
g
2
{\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}
alors
f
1
f
2
∼
a
g
1
g
2
{\displaystyle f_{1}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}g_{2}}
.
On en déduit, si
f
∼
a
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}
:
pour tout
λ
∈
C
∗
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ^{*}}
,
λ
f
∼
a
λ
g
{\displaystyle \lambda f\,{\underset {a}{\sim }}\,\lambda g}
;
pour tout
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
,
f
n
∼
a
g
n
{\displaystyle f^{n}\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{n}}
.
En supposant, pour que les quotients soient définis, que
f
2
{\displaystyle f_{2}}
et
g
2
{\displaystyle g_{2}}
ne s'annulent pas au voisinage de a , sauf peut-être en a :
si
f
1
∼
a
g
1
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}}
et
f
2
∼
a
g
2
{\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}
alors
f
1
f
2
∼
a
g
1
g
2
{\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {g_{1}}{g_{2}}}}
.
En particulier :
si
f
2
∼
a
g
2
{\displaystyle f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}
alors
1
f
2
∼
a
1
g
2
{\displaystyle {\frac {1}{f_{2}}}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\frac {1}{g_{2}}}}
.
En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :
si
f
∼
a
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}
alors, pour tout
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
,
f
α
∼
a
g
α
{\displaystyle f^{\alpha }\,{\underset {a}{\sim }}\,g^{\alpha }}
.
Composition à droite par une même fonction
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Si
lim
a
h
=
b
{\displaystyle \lim _{a}h=b}
et si
f
∼
b
g
{\displaystyle f\,{\underset {b}{\sim }}\,g}
alors
f
∘
h
∼
a
g
∘
h
{\displaystyle f\circ h\,{\underset {a}{\sim }}\,g\circ h}
.
Quelques cas de composition à gauche
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Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.
Si
f
1
∼
a
g
1
et
f
2
∼
a
g
2
{\displaystyle f_{1}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}{\text{ et }}f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{2}}
et si (au voisinage de a )
g
1
{\displaystyle g_{1}}
et
g
2
{\displaystyle g_{2}}
sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément , alors
f
1
+
f
2
∼
a
g
1
+
g
2
{\displaystyle f_{1}+f_{2}\,{\underset {a}{\sim }}\,g_{1}+g_{2}}
.
En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que f et g sont strictement positives au voisinage de a :
si
f
∼
a
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}
et si
lim
a
g
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{a}g=+\infty }
ou
lim
a
g
=
0
{\displaystyle \lim _{a}g=0}
(ou plus généralement : si
g
{\displaystyle g}
« ne s'approche pas » de 1 ), alors
ln
∘
f
∼
a
ln
∘
g
{\displaystyle \ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g}
.
e
f
∼
a
e
g
⇔
lim
a
(
f
−
g
)
=
0
{\displaystyle {\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}\Leftrightarrow \lim _{a}(f-g)=0}
.
Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point a , alors leurs primitives qui s'annulent en a sont équivalentes au point a .
Démonstration
Supposons
f
∼
a
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}
avec (par exemple ) f et g positives, et soit
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
. Il existe un intervalle voisinage de a sur lequel on a
|
f
−
g
|
≤
ε
g
{\displaystyle |f-g|\leq \varepsilon g}
. Alors, pour
x
{\displaystyle x}
dans cet intervalle, on a
|
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
−
∫
a
x
g
(
t
)
d
t
|
≤
ε
∫
a
x
g
(
t
)
d
t
,
{\displaystyle \left|\int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t-\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t\right|\leq \varepsilon \int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t,}
ce qui prouve que
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
∼
a
∫
a
x
g
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int _{a}^{x}f(t){\rm {d}}t\,{\underset {a}{\sim }}\,\int _{a}^{x}g(t){\rm {d}}t.}
Sans hypothèses supplémentaires (voir supra ), on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.
Par exemple,
1
+
x
∼
x
→
0
1
{\displaystyle 1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1}
mais
(
1
+
x
)
+
(
−
1
)
≁
x
→
0
1
+
(
−
1
)
{\displaystyle (1+x)+(-1)\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,1+(-1)}
.
De
f
∼
a
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}
, on ne peut pas déduire
e
f
∼
a
e
g
{\displaystyle {\rm {e}}^{f}\,{\underset {a}{\sim }}\,{\rm {e}}^{g}}
.
En effet,
f
−
g
=
a
o
(
g
)
⇏
lim
a
(
f
−
g
)
=
0
{\displaystyle f-g\,{\underset {a}{=}}\,o(g)\not \Rightarrow \lim _{a}(f-g)=0}
(voir supra ).
Par exemple,
1
=
x
→
∞
o
(
x
)
{\displaystyle 1\,{\underset {x\to \infty }{=}}\,o(x)}
mais
lim
+
∞
1
≠
0
{\displaystyle \lim _{+\infty }1\neq 0}
.
De
f
∼
a
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}
, on ne peut pas déduire
ln
∘
f
∼
a
ln
∘
g
{\displaystyle \ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,\ln \circ g}
.
En effet, si
f
∼
a
1
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,1}
alors (voir supra )
ln
∘
f
∼
a
f
−
1
{\displaystyle \ln \circ f\,{\underset {a}{\sim }}\,f-1}
, or en général
f
−
1
≁
a
0
{\displaystyle f-1\,{\underset {a}{\nsim }}\,0}
.
Par exemple
1
+
x
∼
x
→
0
1
{\displaystyle 1+x\,{\underset {x\to 0}{\sim }}\,1}
mais
x
≁
x
→
0
0
{\displaystyle x\,{\underset {x\to 0}{\nsim }}\,0}
.
L'hypothèse que
g
{\displaystyle g}
« ne s'approche pas » de 1 (voir supra ) est indispensable.
Si
f
∼
a
g
{\displaystyle f\,{\underset {a}{\sim }}\,g}
et si f et g sont dérivables , on ne peut pas conclure que
f
′
∼
a
g
′
{\displaystyle f'\,{\underset {a}{\sim }}\,g'}
.
Par exemple quand x tend vers 0,
f
(
x
)
=
1
+
x
{\displaystyle f(x)=1+x}
et
g
(
x
)
=
1
{\displaystyle g(x)=1}
sont équivalentes, mais
f
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle f'(x)=1}
et
g
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle g'(x)=0}
, donc
f
′
≁
0
g
′
{\displaystyle f'\,{\underset {0}{\nsim }}\,g'}
.
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