Nombre premier de Wall-Sun-Sun

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En mathématiques, un nombre premier de Wall-Sun-Sun est un nombre premier $p$ tel que

p^{2}\quad {\rm {divise}}\quad F(p-\left({\tfrac {p}{5}}\right)),

où $F (n)$ est le $n$ -ième nombre de Fibonacci et où $\left({\tfrac {a}{b}}\right)$ est le symbole de Legendre de $a$ et $b$ .

On ignore s'il existe de tels nombres. Ils sont ainsi nommés en l'honneur des mathématiciens D. D. Wall, Zhi Hong Sun et Zhi Wei Sun.

Histoire modifier

Z. H. Sun et Z. W. Sun^[1] ont montré en 1992 que si le premier cas du dernier théorème de Fermat était faux pour un certain nombre premier p, alors p serait un nombre premier de Wall-Sun-Sun. Par conséquent, avant la démonstration par Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat, on rechercha des nombres premiers de Wall-Sun-Sun dans l'espoir d'en trouver un qui soit même un contre-exemple à cette conjecture centenaire^[2].

Il a été démontré qu'il n'existe aucun nombre premier de Wall-Sun-Sun inférieur à 10¹⁴ en 2003^[3], puis 2 × 10¹⁴ en 2007^[4], 1,5 × 10¹⁶ en octobre 2012 et 2,8 × 10¹⁶ en mars 2014^[5]. Les recherches continuent, et il a quand même été conjecturé qu'il en existe une infinité^[6]^,^[2].

Notes et références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wall–Sun–Sun prime » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Z. Sun et Z. Sun, « Fibonacci numbers and Fermat's last theorem », Acta Arith., vol. 60,‎ 1992, p. 371-388 (MR 93e:11025).
↑ ^{a et b} (en) Chris Caldwell, « The Prime Glossary: Wall–Sun–Sun prime », sur Prime Pages.
↑ (en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search.
↑ (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Mathematics of Computation, vol. 76, n^o 260,‎ 2007, p. 2087-2094 (lire en ligne).
↑ (en) « Wall–Sun–Sun Prime Search project », sur PrimeGrid.
↑ (en) Jiří Klaška, « Short remark on Fibonacci−Wieferich primes », Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, vol. 15, n^o 1,‎ 2007, p. 21-25 (lire en ligne).

Arithmétique et théorie des nombres

[1] (en) Z. Sun et Z. Sun, « Fibonacci numbers and Fermat's last theorem », Acta Arith., vol. 60,‎ 1992, p. 371-388 (MR 93e:11025).

[PP-2] {a et b} (en) Chris Caldwell, « The Prime Glossary: Wall–Sun–Sun prime », sur Prime Pages.

[3] (en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search.

[4] (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Mathematics of Computation, vol. 76, n^o 260,‎ 2007, p. 2087-2094 (lire en ligne).

[5] (en) « Wall–Sun–Sun Prime Search project », sur PrimeGrid.

[6] (en) Jiří Klaška, « Short remark on Fibonacci−Wieferich primes », Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, vol. 15, n^o 1,‎ 2007, p. 21-25 (lire en ligne).

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