Nombre premier de Wolstenholme

En mathématiques, un nombre premier p est appelé nombre premier de Wolstenholme si la condition suivante est vérifiée :

.

Les nombres premiers de Wolstenholme sont nommés en l'honneur du mathématicien Joseph Wolstenholme, qui a démontré en 1862 que tout nombre premier p ≥ 5 vérifie la condition analogue modulo p3 (théorème de Wolstenholme), suite à Charles Babbage qui avait prouvé la condition modulo p2 en 1819.

On conjecture qu'il en existe une infinité[1], bien que[2],[3],[4] les seuls connus soient 16 843 et 2 124 679. et qu'il n'en existe pas d'autres plus petits que 109.

Définitions équivalentesModifier

Pour tout nombre premier p, les propriétés suivantes sont équivalentes[5],[6] :

  • p est un nombre premier de Wolstenholme ;
  •   ;
  • p divise le numérateur du nombre de Bernoulli Bp–3 ;
  • p > 7 et p divise le numérateur de  .

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wolstenholme prime » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Richard J. McIntosh, « On the converse of Wolstenholme's Theorem », Acta Arith., vol. 71, no 4,‎ , p. 381-389 (lire en ligne).
  2. (en) Suite  A088164 de l'OEIS.
  3. (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Math. Comp., vol. 76, no 260,‎ , p. 2087-2094 (lire en ligne).
  4. (en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search (courriel de Richard McIntosh à Paul Zimmermann).
  5. (en) Wolstenholme prime sur le Prime Pages Glossary.
  6. (en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first p – 1 numbers, and their powers, to modulus p2 or p3 », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31,‎ , p. 321-353 (lire en ligne) .

Article connexeModifier