Nombre multicomplexe (Segre)

En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole $\mathbb {C} _{n}$ (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension 2ⁿ sur ℝ. Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.

Définition

Par récurrence

Les algèbres multicomplexes ℂ_n se construisent par récurrence, en posant ℂ₀ = ℝ comme initialisation. En supposant l’algèbre ℂ_{n−1|n ≥ 1} déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire i_n ∉ ℂ_n−1 vérifiant i²
_n = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginaires i₁, …, i_n−1 : on définit alors ℂ_n = {x + y i_n | (x,y) ∈ ℂ_n−1²}.

Directe

Pour n ≥ 1, 1 et i_n commutent avec tout nombre de ℂ_n−1, et Vect(1,i_n) ∉ ℂ_n−1 (car i_n ∉ ℂ_n−1). La relation ℂ_n = {x + y i_n | (x,y) ∈ ℂ_n−1²} peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres ℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ Vect(1,i_n). En outre, puisque i²
_n = −1, on a Vect(1,i_n) ≅ ℂ, d’où ℂ_n = ℂ_n−1 ⊗_ℝ ℂ. ℝ étant l’élément neutre de ⊗_ℝ, et donc son produit vide, on a donc :

$\forall n\in \mathbb {N} ,\mathbb {C} _{n}=\underbrace {\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\cdots \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} } _{n{\text{ facteurs}}}={\bigotimes ^{n}}_{\mathbb {R} }\mathbb {C} \ .$

Propriétés algébriques

• Le nombre de composantes doublant à chaque rang n et ℂ₀ = ℝ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂ_n est de dimension 2ⁿ sur ℝ.
• Chaque ℂ_n est une algèbre de Banach.
• Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂ_n possède des diviseurs de zéro :
  • pour a ≠ b, on a i_a−i_b ≠ 0, i_a+i_b ≠ 0 et (i_a−i_b)(i_a+i_b) = i²
    _a−i²
    _b = 0 ;
  • pour a ≠ b, on a i_ai_b−1 ≠ 0, i_ai_b+1 ≠ 0 et (i_ai_b−1)(i_ai_b+1) = i²
    _ai²
    _b−1 = 0.

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Fleury

• ℂ_n ≅ 𝓜ℂ_2ⁿ.

Sous-algèbres

• Pour n ≥ 1, ℂ₀, …, ℂ_n−1 sont des sous-algèbres de ℂ_n.
• Pour k ≤ n, ℂ_n est de dimension 2^n−k sur ℂ_k.
• Pour n ≥ 1, chaque unité i_k vérifie i²
  _k = −1, donc ℂ_n contient n copies du plan complexe.
• Pour n ≥ 2 et a ≠ b, chaque nombre j_a,b = i_ai_b = i_bi_a vérifie j_a,b² = 1, donc ℂ_n contient n(n−1)/2 copies du plan des complexes déployés.

Cas particuliers

Les cas n ≤ 3 ont des noms consacrés :

• ℂ₀ : nombre réel (ℝ) ;
• ℂ₁ : nombre complexe (ℂ) ;
• ℂ₂ : nombre bicomplexe ;
• ℂ₃ : nombre tricomplexe.

Voir aussi

Bibliographie

• (it) Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
• (en) Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.