Élément conjugué

En mathématiques, les éléments conjugués d'un élément algébrique x sur un corps K sont les racines de son polynôme minimal sur K, dans une extension L de K où ce polynôme est scindé. De façon équivalente, les conjugués de x sont les images de x par les automorphismes de L/K.

Exemples

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Sur , j et j2 ont pour polynôme minimal commun X2 + X + 1 et sont conjugués. Plus généralement, les racines primitives n-ièmes de l'unité dans ℂ ont pour polynôme minimal sur ℚ le n-ième polynôme cyclotomique et sont conjuguées sur ℚ.

Propriétés

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  1. si |α| est inférieur ou égal à 1 alors α est une racine de l'unité ;
  2. si |α| est inférieur ou égal à 2 et α est totalement réel, c'est-à-dire si tous les conjugués de α sur ℚ appartiennent à l'intervalle réel [–2,2], alors α est de la forme 2 cos(πr) pour un certain rationnel r.

Le point 1 peut se déduire du lemme suivant (utile par ailleurs dans la démonstration du théorème des unités de Dirichlet[5],[6]) : pour tout entier n et tout réel C, il n'existe qu'un nombre fini d'entiers algébriques α tels que le degré (du polynôme minimal) de α soit inférieur ou égal à n et que |α| ≤ C.

Il existe divers raffinements de ce point 1 fournissant, en fonction du degré de α, une majoration de |α| moins contraignante mais encore suffisante pour que α soit racine de l'unité[3].

Conjugués d'un polynôme

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Supposons que f(x) soit un polynôme séparable et irréductible dans K[X], et qu'il existe une extension M/K et un polynôme g dans M[X] tel que g divise f dans M[X]. Si l'on dénote par L le corps de décomposition de f sur K, L/K est galoisienne, et L[X]/K[X] est isomorphe à L/K. De plus, les coefficients de g appartiennent à L. En particulier, le polynôme g est algébrique sur K[X], et donc possède des éléments conjugués sur K[X] : l'ensemble des conjugués de g s'obtient en appliquant les automorphismes de Gal(L/K) sur les coefficients de g.

Propriétés

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Il est naturel de penser que le produit des conjugués de g est égal à f, mais c'est inexact, sauf si g est irréductible et que f est primitif, dans le sens où L/K est engendré par une seule racine de f[réf. souhaitée].

En général, le produit des conjugués de g est égal à cfn, où c appartient au corps K et n est un nombre naturel[réf. souhaitée].

Notes et références

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  1. (en) Serge Lang, Algebra [détail des éditions], 8e réimpr., 1978, p. 182
  2. (de) L. Kronecker, « Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Coefficienten », J. reine angew. Math., vol. 53,‎ , p. 173-175 (lire en ligne)
  3. a et b (en) Władysław Narkiewicz, Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, Springer, , 3e éd., 712 p. (ISBN 978-3-540-21902-6, lire en ligne), p. 49 et 71
  4. (en) James Fraser McKee, « Conjugate algebraic numbers on conics: A survey », dans J. F. McKee et C. Smyth, Number Theory and Polynomials, CUP, coll. « LMS Lecture Note Series » (no 352), (ISBN 978-0-52171467-9, lire en ligne), p. 211-240
  5. (en) Gerald J. Janusz, Algebraic Number Fields, Academic Press, coll. « Pure and Applied Mathematics » (no 55), , 3e éd., 220 p. (ISBN 978-0-12-380250-7, lire en ligne), p. 55
  6. (en) Serge Lang, Algebraic Number Theory, Springer, coll. « GTM » (no 110), , 2e éd., 357 p. (ISBN 978-0-387-94225-4, lire en ligne), p. 105

Voir aussi

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Articles connexes

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Lien externe

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(en) Eric W. Weisstein, « Conjugate Elements », sur MathWorld