Niveau d'un corps

En algèbre, le niveau d'un corps (commutatif) F est le nombre minimum de termes dans une décomposition de –1 en somme de carrés si de telles décompositions existent, et l'infini sinon (c'est-à-dire si F est formellement réel). On le note s(F), la lettre s étant l'initiale du mot allemand Stufe. Albrecht Pfister a démontré que lorsque le niveau est fini, c'est une puissance de 2 et que réciproquement, toute puissance de 2 est le niveau d'un corps^[1].

Puissances de 2 modifier

Si s(F) ≠ $\infty$ , il existe^[1]^,^[2] un entier naturel k tel que s(F) = 2^k.

Démonstration

Soient s l'entier s(F), k l'entier tel que 2^k ≤ s < 2^k+1 et n l'entier 2^k. Il existe des éléments non nuls $e 1, \dots , e s$ de F tels que

$0=\underbrace {1+e_{1}^{2}+\ldots +e_{n-1}^{2}} _{=:a}+\underbrace {e_{n}^{2}+\ldots +e_{s}^{2}} _{=:b}.$

Les éléments $a$ et $b$ sont tous deux des sommes de n carrés donc — d'après la théorie des formes de Pfister (en) — leur produit $ab$ aussi, c'est-à-dire qu'il existe des éléments $c 1, \dots , c n$ de F tels que

$ab=c_{1}^{2}+\ldots +c_{n}^{2}.$

Comme $a$ est non nul par définition de k, on en déduit

$-1={\frac {ab}{a^{2}}}=\left({\frac {c_{1}}{a}}\right)^{2}+\ldots +\left({\frac {c_{n}}{a}}\right)^{2},$

si bien que s(F) = n = 2^k.

Caractéristique non nulle modifier

Si F est de caractéristique p > 0 alors^[3] s(F) ≤ 2.

Démonstration

Si p = 2 alors –1 = 1 = 1² donc s(F) = 1.

Si p > 2, le sous-corps premier de F est le corps fini F_p. L'ensemble S des carrés d'éléments de F_p est de cardinal (p + 1)/2 donc l'ensemble –1 – S aussi, si bien que leur intersection est un singleton donc est non vide : il existe deux éléments x et y de F_p tels que x² = –1 – y² donc –1 = x² + y².

Propriétés modifier

Le niveau s(F) d'un corps F est relié à son nombre de Pythagore p(F) par^[4] p(F) ≤ s(F) + 1 et même, si F n'est pas formellement réel^[5]^,^[6], s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1.

L'ordre additif de la forme (1) — donc l'exposant du groupe de Witt de F — est égal à^[7]^,^[8] 2s(F).

Exemples modifier

Le niveau d'un corps quadratiquement clos est^[8] 1.
Le niveau d'un corps de nombres est $\infty$ , 1, 2 ou 4 (« théorème de Siegel »)^[9]. Des exemples sont respectivement^[7] ℚ et les corps quadratiques ℚ( $\sqrt -1$ ), ℚ( $\sqrt -2$ ) et ℚ( $\sqrt -7$ ).
Le niveau du corps fini F_q est^[3]^,^[8]^,^[10] 1 si q ≡ 1 mod 4 et 2 si q ≡ 3 mod 4.
Si F est un corps local dont le corps résiduel k est de caractéristique impaire alors s(F) = s(k). Le niveau du corps ℚ₂ des nombres 2-adiques est^[9] 4.

Notes et références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stufe (algebra) » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (en) A. R. Rajwade, Squares, CUP, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (n^o 171), 1993, 286 p. (ISBN 978-0-521-42668-8, lire en ligne), p. 13.
↑ (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 67), 2005 (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 379.
↑ ^{a et b} Rajwade 1993, p. 33.
↑ Rajwade 1993, p. 44.
↑ Rajwade 1993, p. 228.
↑ Lam 2005, p. 395.
↑ ^{a et b} (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) » (n^o 73), 1973, 150 p. (ISBN 978-3-642-88332-3), p. 75.
↑ ^{a b et c} Lam 2005, p. 380.
↑ ^{a et b} Lam 2005, p. 381.
↑ (en) Sahib Singh, « Stufe of a finite field », Fibonacci Quarterly, vol. 12,‎ 1974, p. 81-82 (lire en ligne). Pour une preuve plus simple, il suffit de faire le même raisonnement que dans la preuve du critère d'Euler, en utilisant que le groupe multiplicatif de F_q est cyclique.

Bibliographie modifier

(en) Manfred Knebusch (de) et Windried Scharlau (de), Algebraic Theory of Quadratic Forms. Generic Methods and Pfister Forms, Birkhäuser, coll. « DMV Seminar » (n^o 1), 1980, 44 p. (ISBN 978-3764312060, lire en ligne)

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[R13-1] {a et b} (en) A. R. Rajwade, Squares, CUP, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (n^o 171), 1993, 286 p. (ISBN 978-0-521-42668-8, lire en ligne), p. 13.

[Lam379-2] (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (n^o 67), 2005 (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 379.

[R33-3] {a et b} Rajwade 1993, p. 33.

[R44-4] Rajwade 1993, p. 44.

[R228-5] Rajwade 1993, p. 228.

[Lam395-6] Lam 2005, p. 395.

[MH75-7] {a et b} (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) » (n^o 73), 1973, 150 p. (ISBN 978-3-642-88332-3), p. 75.

[Lam380-8] {a b et c} Lam 2005, p. 380.

[Lam381-9] {a et b} Lam 2005, p. 381.

[10] (en) Sahib Singh, « Stufe of a finite field », Fibonacci Quarterly, vol. 12,‎ 1974, p. 81-82 (lire en ligne). Pour une preuve plus simple, il suffit de faire le même raisonnement que dans la preuve du critère d'Euler, en utilisant que le groupe multiplicatif de F_q est cyclique.

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