Niveau d'un corps

En algèbre, le niveau d'un corps (commutatif) F est le nombre minimum de termes dans une décomposition de –1 en somme de carrés si de telles décompositions existent, et l'infini sinon (c'est-à-dire si F est formellement réel). On le note s(F), la lettre s étant l'initiale du mot allemand Stufe. Albrecht Pfister a démontré que lorsque le niveau est fini, c'est une puissance de 2 et que réciproquement, toute puissance de 2 est le niveau d'un corps[1].

Puissances de 2Modifier

Si s(F) ≠ , il existe[1],[2] un entier naturel k tel que s(F) = 2k.

Caractéristique non nulleModifier

Si F est de caractéristique p > 0 alors[3] s(F) ≤ 2.

PropriétésModifier

Le niveau s(F) d'un corps F est relié à son nombre de Pythagore p(F) par[4] p(F) ≤ s(F) + 1 et même, si F n'est pas formellement réel[5],[6], s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1.

L'ordre additif de la forme (1) — donc l'exposant du groupe de Witt de F — est égal à[7],[8] 2s(F).

ExemplesModifier

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Stufe (algebra) » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) A. R. Rajwade, Squares, CUP, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series » (no 171), , 286 p. (ISBN 978-0-521-42668-8, lire en ligne), p. 13.
  2. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67), (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 379.
  3. a et b Rajwade 1993, p. 33.
  4. Rajwade 1993, p. 44.
  5. Rajwade 1993, p. 228.
  6. Lam 2005, p. 395.
  7. a et b (en) John Milnor et Dale Husemöller (de), Symmetric Bilinear Forms, Springer, coll. « Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (en) » (no 73), , 150 p. (ISBN 978-3-642-88332-3), p. 75.
  8. a b et c Lam 2005, p. 380.
  9. a et b Lam 2005, p. 381.
  10. (en) Sahib Singh, « Stufe of a finite field », Fibonacci Quarterly, vol. 12,‎ , p. 81-82 (lire en ligne). Pour une preuve plus simple, il suffit de faire le même raisonnement que dans la preuve du critère d'Euler, en utilisant que le groupe multiplicatif de Fq est cyclique.

BibliographieModifier

(en) Manfred Knebusch (de) et Windried Scharlau (de), Algebraic Theory of Quadratic Forms. Generic Methods and Pfister Forms, Birkhäuser, coll. « DMV Seminar » (no 1), , 44 p. (ISBN 978-3764312060, lire en ligne)