Corps quadratiquement clos

En algèbre, un corps quadratiquement clos est un corps commutatif dans lequel tout élément possède une racine carrée[1].

Exemples modifier

Propriétés modifier

Pour tout corps F, les propriétés suivantes sont équivalentes :

Tout corps quadratiquement clos est à la fois pythagoricien et non formellement réel mais la réciproque est fausse (penser aux corps de caractéristique 2).

Soit E/F une extension finie avec E quadratiquement clos. Alors, ou bien −1 est un carré dans F et F est quadratiquement clos, ou bien −1 n'est pas un carré dans F et F est euclidien (c'est une conséquence du théorème de Diller-Dress)[3].

Clôture quadratique modifier

Pour tout corps F, il existe une « plus petite » extension quadratiquement close de F. Cette extension, qui est donc unique à isomorphisme près, est appelée « la » clôture quadratique de F. On peut la construire comme sous-corps de « la » clôture algébrique Falg de F, en prenant la réunion de toutes les tours d'extensions quadratiques sur F dans Falg. Lorsque la caractéristique de F est différente de 2, c'est donc la réunion des 2-extensions finies de F dans Falg, c'est-à-dire toutes les extensions galoisiennes de degré égal à une puissance de 2[4].

Par exemple :

Notes et références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quadratically closed field » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Tsit-Yuen Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, AMS, coll. « Graduate Studies in Mathematics » (no 67), (ISBN 978-0-8218-7241-3, lire en ligne), p. 33.
  2. Lam 2005, p. 34.
  3. Lam 2005, p. 270.
  4. a b c et d Lam 2005, p. 220.