En géométrie algébrique, les schémas ne sont généralement pas séparés pour la topologie de Zariski. La notion de schémas séparés, ou plus généralement de morphismes séparés pallie ce défaut et permet de transposer certaines propriétés d'unicité des espaces topologiques séparés vers les schémas séparés.

Dans la première édition des EGA, les schémas étaient appelés des préschémas et les schémas séparés des schémas. Cette convention a été abandonnée depuis.

Une caractérisation des espaces topologiques séparésModifier

Soit   un espace topologique. Alors il est séparé si et seulement la diagonale   de   est fermée dans   (ce dernier étant muni de la topologie produit). Ce qui rend un schéma non séparé pour sa topologie de Zariski est qu'en fait la topologie de Zariski sur   n'est pas la topologie produit.

DéfinitionModifier

Soit   un morphisme de schémas. Soient   les projections du produit fibré de   par lui-même sur ses composantes. Par la propriété universelle du produit, il existe un unique morphisme de  -schémas   tel que  . Ce morphisme est appelé le morphisme diagonal de   sur  . Son image est appelé la diagonale de  .

Un morphisme séparé est un morphisme de schémas   tel que la diagonale de   est une partie fermée.

On dit qu'un  -schéma   est séparé si son morphisme structural   est séparé.

Un schéma séparé est un schéma   tel que le morphisme canonique   est séparé.

Exemples

  • Tout schéma affine est séparé.
  • Le recollement de deux copies   de la droite affine le long de l'ouvert   est un schéma non-séparé.

PropriétésModifier

  • Les immersions fermées et les immersions ouvertes sont des morphismes séparés.
  • (changement de base) Si   est séparé, alors pour tout  , le changement de base   est séparé.
  • Le produit fibré   de  -schémas séparés est un  -schéma séparé.
  • La composition de morphismes séparés est séparé.
  • On a l'équivalence des propriétés :
  1.   est séparé ;
  2. il existe un morphisme séparé   vers un schéma affine ;
  3. tout morphisme   est séparé.

Proposition — Soient   des morphismes de schémas avec   réduit et   séparé. S'il existe une partie ouverte dense   de   telle que  , alors  .

  • Soit   un morphisme de  -schémas avec   séparé sur  . Alors le graphe de   est une partie fermée de  . Le graphe de   est par définition l'image du morphisme   (qui intuitivement envoie   sur  , ce qui est d'ailleurs rigoureusement exact au niveau des  -points  ).
  • Un groupe algébrique est toujours séparé.

RéférenceModifier

Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique, coll. « GMW » (n° 166), Springer-Verlag, 1971, chap. I