Matrice de Jacobi

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Les matrices de Jacobi sont des matrices symétriques tridiagonales, éventuellement infinies. Leur nom vient du mathématicien allemand Carl Gustav Jakob Jacobi.

Matrice de taille finieModifier

Les matrices de Jacobi de taille finie sont de la forme

 

avec  

On montre que   est une valeur propre de la matrice   si et seulement si

 

Si l'on réduit la fraction continue en une fraction rationnelle, le numérateur sera le polynôme caractéristique   de la matrice  .

Dimension infinieModifier

Considérons deux suites   et  , toujours avec   et  . L'opérateur de Jacobi   associé est défini sur un espace de suites   par

 

Les opérateurs de Jacobi sont liés à la théorie des polynômes orthogonaux. En effet, si l'on note   avec   la solution de

 ,

alors   est un polynôme de degré  . Ces polynômes vérifient la relation de récurrence d'ordre 2 :

 

pour tout  , si l'on pose   et  . Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une certaine mesure.

Par exemple, avec   et  , les polynômes   sont les polynômes de Laguerre.

Avec   et  , les polynômes   sont les polynômes de Tchebychev de seconde espèce.

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier

  • Jean Dieudonné, « Fractions continuées et polynômes orthogonaux », dans E.N. Laguerre, Polynômes orthogonaux et applications, Springer, (lire en ligne), p. 1-15