M-matrice

En mathématiques, une M-matrice est une matrice carrée réelle qui est à la fois une P-matrice et une Z-matrice, ce qui signifie que tous ses mineurs principaux sont strictement positifs et que ses éléments extra-diagonaux sont négatifs. D'autres caractérisations peuvent être utilisées, dont certaines sont données ci-dessous.

Ces matrices interviennent dans l'étude des problèmes de complémentarité linéaire et dans certaines discrétisations d'opérateurs différentiels, en particulier ceux obéissant à un principe du maximum, comme le laplacien.

Cette classe de matrices semble avoir été introduite par Alexander Ostrowski en référence à Hermann Minkowski.

Définitions

La notion de M-matrice peut se définir de différentes manières, bien sûr équivalentes. On utilise ci-dessous les notions de Z-matrice, de P-matrice et de S-matrice.

M-matrice — On dit qu'une matrice carrée réelle $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une M-matrice si c'est une Z-matrice et si l'une des propriétés équivalentes suivantes est vérifiée, équivalentes sous l'hypothèse que $M\in \mathbf {Z}$ :

1. $M\in \mathbf {P}$,
2. $M\in \mathbf {S}$,
3. $M$ est inversible et $M^{-1}\geqslant 0$ (tous les éléments de son inverse sont positifs),
4. toutes les valeurs propres de $M$ ont une partie réelle strictement positive.

On note M l'ensemble des M-matrices d'ordre quelconque. On appelle M-matricité la propriété d'une matrice d'appartenir à M.

Propriétés

Algèbre linéaire

Les facteurs LU d'une M-matrice existent et peuvent être calculés de manière stable, sans pivotage. Cette propriété a également lieu pour la factorisation LU incomplète.

Complémentarité linéaire

Un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\geqslant 0,$ tel que $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top \!}(Mx+q)=0.$ Dans cette définition, $M\in \mathbb {R} ^{n\times n},$ $q\in \mathbb {R} ^{n},$ $x^{\!\top \!}$ est le transposé de $x$ et les inégalités doivent se comprendre composante par composante. Ce problème est parfois noté de manière compacte comme suit

${\mbox{CL}}(M,q)\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.$

L'ensemble admissible de ce problème est noté

${\mbox{Adm}}(M,q):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}.$

L'importance des M-matrices dans les problèmes de complémentarité linéaire provient du résultat suivant.

M-matrice et problème de complémentarité linéaire — Pour une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $M\in \mathbf {M}$,
2. pour tout $q$, $\operatorname {Adm} (M,q)$ contient un minimum (pour l'ordre $\leqslant$ de $\mathbb {R} ^{n}$) qui est l'unique solution de $\operatorname {CL} (M,q)$,
3. pour tous vecteurs $q^{1}\leqslant q^{2}$, les solutions ${\bar {x}}^{i}$ de $\operatorname {CL} (M,q^{i})$ vérifient ${\bar {x}}^{1}\geqslant {\bar {x}}^{2}$.

Annexes

Articles connexes

• Complémentarité linéaire
• Matrice de Hurwitz
• P-matrice
• Z-matrice

Bibliographie

• (en) A. Bermon, R.J. Plemmons (1994). Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphie, USA. (ISBN 0898713218).
• (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
• (en) R. A. Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York, NY, USA.