Méthode des moments (physique statistique)

La méthode des moments en physique statistique consiste à transformer une équation cinétique en une série d'équations sur les moments de la densité numérique décrivant la distribution de la variable. Le système ainsi obtenu est incomplet : il faut donc ajouter une condition supplémentaire, laquelle est plus ou moins arbitraire et dépendante du problème traité.

Équation cinétiqueModifier

Ce type d'équation comme l'équation de Boltzmann s'écrit sous forme générique

 

  est l'espace,
  le temps,
  la vitesse microscopique,
  la densité numérique de  ,
  un terme source lié aux interactions.

MomentsModifier

On note

  la masse de la particule
  le produit tensoriel
  le produit contracté
  l'intégrale sur u

On appelles moments de f les quantités suivantes, obtenues en multipliant f par   et en intégrant sur u.

  nombre de particules par unité de volume (scalaire)
  vitesse macroscopique (vecteur)
  tenseur des contraintes ou de pression (tenseur symétrique d'ordre 2).

La pression thermodynamique est la trace de ce tenseur  

  énergie interne (scalaire)
  flux de chaleur (vecteur)

Les quantités obtenues sont des quantités macroscopiques : l'opération constitue donc un changement d'échelle.

La méthode des moments consiste à multiplier successivement l'équation cinétique par les quantités ci-dessus et à intégrer

 

Tous les seconds membres sont nuls car   (nombre de particules, quantité de mouvement, énergie) sont conservés au cours d'une interaction et donc conservés sur l'ensemble de celles-ci en un point et à un instant donnés.

On remarque que chaque équation portant sur la variation temporelle d'un moment fait intervenir le moment d'ordre supérieur. La méthode constitue une fuite en avant et il faudra donc faire quelque chose pour fermer le système.

En introduisant la masse volumique   ces équations s'écrivent en multipliant la première par m.

 

Ce système est nommé équations d'Enskog. Les quantités   et   sont inconnues à ce stade de la modélisation.

Fermeture du systèmeModifier

Diverses méthodes sont possibles

  • un développement de f en série d'un « petit paramètre » : c'est la méthode de Chapman-Enskog.
  • une hypothèse a priori sur la forme de f, par exemple une série de polynômes d'Hermite dont les coefficients deviennent les inconnues du problème : c'est la méthode de Grad[1].
  • une hypothèse sur une propriété de la solution : c'est par exemple la « fermeture entropique » qui suppose que la solution maximise l'entropie   du système. Le problème est alors résolu à l'aide des multiplicateurs de Lagrange[2].

Autres équations cinétiquesModifier

On remarquera que la densité numérique f peut être vue comme le produit du module de   par une distribution angulaire   définie sur la sphère unité

 

La méthode s'applique donc aux équations cinétiques décrivant de telles distributions, par exemple l'équation du transfert radiatif qui porte sur le nombre de photons ou la luminance  .

Dans le cas où la fonction de distribution porte sur des quantités scalaires et non plus vectorielles, par exemple dans le cas de l'équation de Smoluchowski, les moments sont scalaires et l'on retrouve des choses analogues à la méthode des moments utilisée en statistiques.

RéférencesModifier

  1. (en) Gilberto Medeiros Kremer, « The Methods of Chapman-Enskog and Grad and Applications », RTO-EN-AVT 194,‎ (lire en ligne)
  2. (en) Charles David Levermore, « Moment Closure Hierarchies for Kinetic Theories », Journal of Statistical Physics, vol. 83,‎

Ouvrages de référenceModifier

Articles connexesModifier