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En mathématiques, la méthode de Laplace, due à Pierre-Simon de Laplace, est une méthode pour l'évaluation numérique d'intégrales de la forme :

est une fonction deux fois dérivable, M est un grand nombre réel et les bornes a et b peuvent éventuellement être infinies.

Principe de la méthodeModifier

 
Illustration de la méthode de Laplace : en noir, la fonction  , et en rouge,   avec   : on remarque que seule l'aire sous la courbe à intégrer près du maximum de   (pointillés) est significative.

Pour M > 0, si l'on suppose que la fonction   admet un unique maximum au point   alors pour M grand, seuls les points au voisinage de   contribuent de façon significative à l'intégrale :

 

Si M est négatif, en considérant -M et -f on peut se ramener à considérer les maximums de -f donc les minimums de f

Méthode de Laplace, cas généralModifier

Pour appliquer la méthode de Laplace, un certain nombre de conditions sont requises.   ne doit pas être l'une des bornes de l'intégrale et   ne peut s'approcher de la valeur   qu'au voisinage de  .

Par application du théorème de Taylor, au voisinage de  ,   s'écrit :

 .

Puisque   admet un maximum en  , qui n'est pas l'une des bornes de l'intégrale,   et  , on a alors dans un voisinage de   :

 

Et pour l'intégrale :

 

La deuxième intégrale peut être estimée à l'aide d'une intégrale de Gauss en remplaçant les bornes a et b par −∞ et +∞ et l'on a alors :

 

Le remplacement des bornes par −∞ et +∞ est numériquement valide car, quel que soit   est un  

Les deux conditions demandées pour effectuer cette méthode ne sont pas nécessairement requises et il existe des généralisations pour le cas où   est l'une des bornes en utilisant un développement au premier ordre autour de   ainsi que par découpage d'intégrale pour le cas où deux, ou un nombre fini, de maximums locaux de f auraient des valeurs proches. La méthode du point col permet également une généralisation pour

 

Exemple : formule de StirlingModifier

La méthode de Laplace peut être employée pour démontrer la formule de Stirling :

Pour N grand : 

Par définition de la fonction gamma, on a

 

Avec le changement de variable   on obtient :

   
 
 
 

En considérant la fonction:

 

f est deux fois dérivable :

 
 

f est maximum en z=1 et sa dérivée seconde vaut -1 en 1 ; on a alors avec la méthode de Laplace:

 

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Laplace's method » (voir la liste des auteurs).

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • J. Dieudonné, Calcul infinitésimal [détail des éditions], chap. IV, §2
  • P. Deift, X. Zhou, A steepest descent method for oscillatory Riemann-Hilbert problems. Asymptotics for the MKdV equation, Ann. of Math. (2), v.137 (1993), no. 2, 295–368
  • A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, 1956

Articles connexesModifier