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Comparaison entre les trajectoires loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New York, sur une carte en projection de Mercator
Comparaison entre les trajectoires loxodromique (jaune) et orthodromique (rouge) entre Paris et New York, sur la sphère terrestre.

Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course (δρόμος) oblique (λοξός), en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant.

Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite, mais elle ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un arc de grand cercle de la sphère[1].

La loxodromie est une trajectoire à route vraie constante. Elle doit son nom au géomètre portugais Pedro Nunes, le premier à la distinguer d'un cercle (ca. 1537)[2].

Loxodromie : l'angle est la route vraie.

Navigation loxodromiqueModifier

Le problème posé est celui de la détermination de la route et de la distance loxodromique entre deux points. Il s'agit donc du problème inverse de la navigation à l'estime.

Par la suite, on note

  •   la route vraie (terme utilisé en aéronautique, appelée route fond,  , dans le domaine maritime) ;
  •   la distance parcourue à la route   ;
  •   et   les coordonnées géographiques (latitude, longitude) des points A et B ;
  •   la latitude moyenne ;

Les unités, si nécessaires, seront indiquées en exposant entre crochets :   pour nautique,  pour le radian,   pour la minute d'arc.

La valeur de la distance en fonction de la route vraie s'exprime par l'égalité

 

Pour l'évaluation de la route vraie, on peut utiliser une valeur approchée ou une valeur exacte.

  • Si les deux points A et B sont peu éloignés, on peut se contenter de la formule approchée utilisant la latitude moyenne
 
cette formule est issue de la confusion entre les distances sur la sphère et les distances sur la carte. Elle s'applique pour des points à distance réduite (inférieure à 300 milles marins) et à des latitudes éloignées des pôles (latitudes inférieures à 60°)[3].
  • Formule exacte (latitudes croissantes de la projection de Mercator) :
 
  est appelée la latitude croissante[4] et vaut, en radians :
  qui est la fonction de Gudermann inverse.

Les formules ne sont pas adaptées pour les   proches de 90° et 270° puisqu'elles conduiraient à une division par un nombre proche de zéro. Dans ces cas, il est prévu dans les calculs nautiques d'utiliser le sinus pour calculer la distance. Dès que la route fond par quart   est supérieure à 89°, on utilise la formule approchée suivante[5] :

 

Étude mathématiqueModifier

Sur le globe terrestre, les loxodromies correspondent (lorsqu'elles ne sont pas « dégénérées », c'est-à-dire lorsque l'angle initial donné n'est pas nul) à des spirales s'enroulant autour du pôle (le pôle Nord si l'angle initial est dans   et le déplacement se fait dans le sens des latitudes croissantes). Au voisinage du pôle, ces spirales sont approximativement planes, de tangente formant un angle fixe avec le rayon vecteur, ce qui est une propriété caractéristique d'une spirale logarithmique.

Plus précisément, on veut déterminer une équation de la loxodromie et calculer la longueur L parcourue depuis l'équateur jusqu'au pôle en fonction de la route vraie   (c’est-à-dire l’angle entre la direction suivie et le nord géographique) ; la longitude étant notée   et la latitude  , il s'agit donc de déterminer la fonction  . Le calcul donne finalement   et  [6].

Notes et référencesModifier

  1. Un « grand cercle » d'une sphère est l'intersection de la sphère avec un plan qui passe par le centre de la sphère, comme l'Équateur et tous les méridiens.
  2. Stevin et Harriot l'ont étudiée (c.1580) : c'est un des premiers cas d'« intégration difficile » connus
  3. LOxodromie, p.5-6, sur le site de l'école nationale de la marine marchande de Marseille
  4. Robert Rolland « QUELQUES PROBLÈMES MATHÉMATIQUES LIÉS À LA NAVIGATION (VERSION 7) » (page 26)
  5. LOxodromie, p.8;10, sur le site de l'école nationale de la marine marchande de Marseille
  6. Robert Rolland « QUELQUES PROBLÈMES MATHÉMATIQUES LIÉS À LA NAVIGATION (VERSION 7) » (page 19)

Voir aussiModifier