Loi normale rectifiée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale rectifiée est une modification de la loi normale lorsque ses valeurs négatives sont « remises à » 0. C'est une loi mixte issue d'un mélange entre une loi de probabilité discrète (mesure de Dirac en 0) et une loi de probabilité à densité (loi normale tronquée sur $\scriptstyle ]0,\infty [$).

Loi normale rectifiée
Paramètres	$\mu \in \mathbb {R}$ paramètre de position $\sigma >0\,$ paramètre d'échelle
Support	$x\in [0,+\infty [\!$
Densité de probabilité	$\scriptstyle \Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).$

Une variable aléatoire qui suit une loi normale rectifiée est notée : $X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})$.

Densité de probabilité

La densité de probabilité d'une loi normale rectifiée est donnée par

$f(x;\mu ,\sigma ^{2})=\Phi (-{\frac {\mu }{\sigma }})\delta (x)+{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\textrm {U}}(x).$

Comparaison d'une loi normale, d'une loi normale rectifiée et d'une loi normale tronquée.

Ici, $\Phi$ est la fonction de répartition de la loi normale :

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\mathrm {e} ^{-t^{2}/2}\,\mathrm {d} t\quad x\in \mathbb {R} ,$

$\delta$ est la distribution de Dirac :

$\delta (x)={\begin{cases}\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}$

et, ${\textrm {U}}$ est la fonction de Heaviside:

${\textrm {U}}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x>0.\end{cases}}$

Forme alternative

Une alternative simple est de considérer le cas où

$S\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),X=\max(0,S),$

alors,

$X\sim {\mathcal {N}}^{\textrm {R}}(\mu ,\sigma ^{2})$

Références

• (en) Maxime Beauchamp, « On numerical computation for the distribution of the convolution of N independent rectified Gaussian variables », Journal de la Société Française de Statistique, vol. 159, n^o 1,‎ 2018 (lire en ligne)