Loi normale asymétrique

Distribution normale asymétrique
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Densité de probabilité

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Fonction de répartition

Paramètres position (réel)
échelle (réel positif)
forme (asymétrie) (réel)
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
est la fonction T d'Owen
Espérance
Variance
Asymétrie
Kurtosis normalisé
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une loi de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

DéfinitionModifier

Soit   la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

 

avec sa fonction de répartition donnée par

 

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

 

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle  . On peut vérifier que l'on retrouve une distribution normale lorsque  , et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente lorsque la valeur absolue de   augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si   et est asymétrique vers la gauche si  . La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

 

EstimationModifier

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour  ,  , et   peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si  . Si l'on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer   à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

 

 , et   est l'asymétrie empirique. Le signe de   est le même que celui de  . Par conséquent,  .

RéférenceModifier

(en) A. Azzalini, « A class of distributions which includes the normal ones », Scand. J. Statist., vol. 12,‎ , p. 171–178

Article connexeModifier

Asymétrie (statistique)

Liens externesModifier