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Loi de Lenz-Faraday

Loi d'électromagnétisme décrivant l'induction électromagnétique
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Loi de Faraday.

En physique, la loi de Lenz-Faraday, ou loi de Faraday, permet de rendre compte des phénomènes macroscopiques d'induction électromagnétique. Elle exprime l'apparition d'une force électromotrice (tension) dans un circuit électrique, lorsque celui-ci est immobile dans un champ magnétique variable ou lorsque le circuit est mobile dans un champ magnétique variable ou permanent.

À l'origine empirique, cette loi est fondée sur les travaux de Michael Faraday en 1831 et sur l'énoncé de Heinrich Lenz de 1834. Elle est aujourd'hui déduite de l'équation locale de Maxwell-Faraday.

Il s'agit d'une loi de modération, c'est-à-dire qu'elle décrit des effets qui s'opposent à leurs causes.

Sommaire

ÉnoncéModifier

Cas généralModifier

 
Le circuit orienté C délimite une surface ouverte S. Cette surface est traversé par un champ magnétique  . Le vecteur  , unitaire et normal, oriente la surface.

Un circuit électrique, représenté par un contour C orienté arbitrairement, soumis à un flux magnétique   variable (issu d'un champ magnétique   variable) est le siège d'une force électromotrice e telle que[1] :

 
où :
  • e est la force électromotrice (f.é.m) induite (ou d'induction). Elle correspond à la circulation du champ électrique   induit par la variation de flux magnétique. Elle est donc telle que :  ;
  •   est le flux magnétique variable. Il est donc tel que :  , avec S la surface délimitée par le contour C, et  le vecteur unitaire normal à la surface élémentaire dS et orienté selon la règle du tire-bouchon de Maxwell.


Cas d'un circuit immobileModifier

Dans le cas où le circuit est immobile dans le référentiel d'étude, l'expression peut se mettre sous la forme suivante :

 

Cas d'un circuit mobileModifier

On considère à présent le cas où le circuit C est en mouvement à la vitesse   dans le référentiel d'étude.

En remarquant que la dérivée totale du flux magnétique s'écrit[2] :  , la loi de Faraday prend alors la forme suivante:

 

On remarque la présence d'un terme supplémentaire par rapport à l'équation dans le cas d'un circuit immobile. Ce terme dépend de la vitesse relative du circuit par rapport à l'observateur, dans une forme qui est celle du travail de la force de Lorentz. On trouvera une autre façon tout aussi intéressante de présenter le cas des circuits mobiles dans la référence [3].


Interprétation du signe : loi de LenzModifier

La présence du signe « - » rend compte du fait que le sens du courant induit (orienté dans le même sens que le champ électrique induit) est tel que celui-ci tend toujours à s'opposer, par ses effets, à la cause qui l'a produit[4] :

  • dans le cas d'un champ magnétique variable, le champ créé par le courant induit lui-même s'oppose à la variation du champ initial ;
  • dans le cas d'un circuit mobile, les forces de Laplace dues au courant induit s'opposent au mouvement initial du circuit.


Cette interprétation est connue sous le nom de loi de modération Lenz.


ApplicationsModifier

L'induction électromagnétique est un phénomène physique d'importance majeure, à l'origine de multiples applications industrielles, entre autres dans le domaine de l'électrotechnique (conversion d'énergie électrique), dans les moteurs électriques ou dans les transformateurs. L'induction électromagnétique est par ailleurs utilisée dans les plaques à induction.

La loi de Lenz-Faraday permet également d'interpréter les effets associés aux courants de Foucault.


Forme locale de la loiModifier

La forme locale de la loi de Faraday est l'équation dite de « Maxwell-Faraday », due à James Clerk Maxwell, qui s'écrit :

 
avec   le champ électrique,   le champ magnétique et   le rotationnel du champ  .

Cette forme locale, qui constitue l'une des quatre équations de Maxwell, est posée comme postulat de l'électromagnétisme. Néanmoins, il est possible de vérifier que les deux formes, intégrale et locale, sont équivalentes.


DémonstrationModifier

 
Les variations de flux de   à travers la surface Σ créent un champ électrique induit   dont la circulation le long du contour Γ est la f.é.m induite e. Le vecteur unitaire   représente la normale à la surface Σ.

Soit Σ une surface immobile quelconque de l'espace  , orientée par le vecteur unitaire normal  . Cette surface est traversée par un champ magnétique dont on suppose la cause extérieure. Le flux de   à travers Σ est :

 .

La force électromotrice e est égale à la circulation du champ électrique sur le contour orienté Γ délimitant la surface Σ :

 .

D'après le théorème de Stokes, on a :

 

Ainsi, la loi de Faraday, qui s'écrit  , donne lieu à l'égalité suivante :

 .

On obtient donc deux expressions intégrales de la f.é.m e. Celles-ci étant valables quelle que soit la surface Σ, les intégrandes sont égaux, et ainsi :

 

On retrouve l'expression de l'équation de Maxwell-Faraday. Réciproquement en reprenant les étapes dans l'autres sens on retrouve la forme intégrale de la loi.


Potentiel vecteur et équation de Maxwell-FaradayModifier

Le champ   est à circulation conservative, où   est le champ électrique induit et   le potentiel-vecteur défini par le champ  . En effet,

comme pour un contour C quelconque et une surface Σ quelconque s'y appuyant, on a d'après le théorème de Stokes :

 .

En dérivant cette égalité par rapport au temps et en utilisant la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Faraday, on obtient :

  , c'est-à-dire  .


Notes et référencesModifier

  1. Christophe More et Stéphane Olivier, Physique 2e année PSI PSI*, Lavoisier / Tec & Doc, (ISBN 978-2-7430-1128-4), p. 403
  2. Jackson
  3. J.-P. Pérez, R. Carles, R. Fleckinger, Électromagnétisme. Fondements et applications, 3e édition, Masson, Paris, 1997, chapitre 14 (Induction électromagnétique)
  4. Bertrand Hauchecorne, Formulaire : Mathématiques - Physique-Chimie -SII - MPSI-PCSI-PTSI / PSI, Ellipses, coll. « Prépas sciences », (ISBN 9782340-006638), p. 120

AnnexesModifier

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BibliographieModifier

  • [Jackson] John David Jackson (trad. Christian Jeanmougin), Électrodynamique classique, Dunod, coll. « Sciences Sup », , 880 p. (ISBN 2-10-004411-7)

Liens externesModifier