Loi de Bates

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Bates, dénommée suivant la probabiliste Grace E. Bates, est la loi de probabilité de la moyenne de variables aléatoires indépendantes et de loi uniforme continue sur [0 ; 1].

Loi de Bates
Densité de probabilité
Paramètres	$-\infty <a<b<\infty \,$ n >1 réel
Support	$x\in [a,b]$
Densité de probabilité	${\frac {n^{n}}{\left(n-1\right)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor nx\rfloor }\left(-1\right)^{k}{n \choose k}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{n-1}$ pour $x\in ]0;1[$
Espérance	${\tfrac {1}{2}}(a+b)$
Variance	${\tfrac {1}{12n}}(b-a)^{2}$
Asymétrie	0
Kurtosis normalisé	$-{\tfrac {6}{5n}}$
Fonction caractéristique	$\left[-{\frac {\mathrm {i} n\left(\mathrm {e} ^{\tfrac {ibt}{n}}-\mathrm {e} ^{\tfrac {\mathrm {i} at}{n}}\right)}{(b-a)t}}\right]^{n}$

Il ne faut pas confondre cette loi avec la loi d'Irwin-Hall qui est la somme de telles variables aléatoires.

Définition

La loi de Bates est la loi de probabilité de la moyenne arithmétique de n variables aléatoires U₁, U₂, ... , U_n iid de loi uniforme continue sur l'intervalle [0 ; 1] :

$X={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}.$

La densité de probabilité de la loi de Bates est donnée par la formule suivante :

$f_{X}(x;n)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {n^{n}}{\left(n-1\right)!}}\sum _{k=0}^{\lfloor nx\rfloor }\left(-1\right)^{k}{n \choose k}\left(x-{\frac {k}{n}}\right)^{n-1}&{\text{ pour }}x\in ]0,1[\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}$

Plus généralement, la moyenne de n variables aléatoires indépendantes et uniformes sur [a , b] :

$X_{(a,b)}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}U_{k}(a,b)$

a pour densité de probabilité

$g(x;n,a,b)={\frac {1}{b-a}}f_{X}\left({\frac {x-a}{b-a}};n\right){\text{ pour }}a\leq x\leq b.\,$

Voir aussi

Lien externe

• « (en) BatesDistribution », sur Wolfram Mathematica-Documentation center (consulté le 2 mars 12)