Limite de Bekenstein

En physique, la limite de Bekenstein est une limite supérieure à l'entropie S, ou l'information I qui peut être contenue dans une région finie donnée de l'espace qui contient une quantité finie d'énergie ou, réciproquement, la quantité maximum d'information requise pour décrire parfaitement un système physique donné jusqu'au niveau quantique[1]. Elle implique que l'information d'un système physique, ou l'information nécessaire pour décrire parfaitement ce système, doit être finie si cette région de l'espace et son énergie sont finies. En informatique théorique, elle implique qu'il existe une vitesse maximum de calculabilité, la limite de Bremermann, pour un système physique qui a une taille et une énergie finies, et qu'une machine de Turing avec des dimensions finies et une mémoire illimitée n'est pas possible.

En atteignant la limite de Bekenstein, un support de stockage s'effondrerait en trou noir[2].

ÉquationsModifier

L'inéquation de cette limite a initialement été trouvée par Jacob Bekenstein[1],[3],[4] :

 

S est l'entropie, k la constante de Boltzmann, R le rayon d'une sphère contenant le système, E la masse-énergie, incluant la masse au repos, ħ est la constante de Planck réduite et c est la vitesse de la lumière. Bien que la gravitation y joue un rôle important, l'expression ne dépend pas de la constante gravitationnelle.

En termes d'information, la borne peut s'écrire :

 

I est l'information exprimée en nombre de bits contenus dans les états quantiques de la sphère. Le facteur ln 2 vient de la définition de l'information comme logarithme en base 2 du nombre d'états quantiques[5].

En utilisant l'équivalence masse-énergie, la limite de la quantité d'information peut être reformulée :

 

  est la masse du système en kg.

OriginesModifier

Bekenstein a dérivé cette limite d'arguments heuristiques concernant les trous noirs. S'il existe un système qui viole la limite, c'est-à-dire en ayant une trop grande entropie, Berkenstein a montré qu'il serait possible de violer la seconde loi de la thermodynamique en le transformant en trou noir. En 1995, Theodore Jacobson a démontré que l'équation du champ d'Einstein, et ainsi la relativité générale, peut être dérivée en admettant que la limite de Bekenstein et les lois thermodynamiques sont vraies[6],[7]. Toutefois, bien que plusieurs arguments développés montrent qu'il doit bien exister une certaine forme de limite afin que les lois de la thermodynamique et la relativité générale soient mutuellement cohérentes, la formulation exacte a été sujette à débat[3],[4],[8],[9],[10],[11].(en)[12],[13],[14],[15],[16]

ExemplesModifier

Trous noirsModifier

L'entropie des trous noirs est exactement égale à la limite de Bekenstein :

 
 
 
 

  est la constante de Boltzmann, A est l'aire bidimensionnelle de l'horizon des évènements du trou noir exprimée avec l'aire de Planck comme unité, et  .

la limite est ainsi intimement liée à la thermodynamique des trous noirs, au principe holographique et à la limite d'entropie covariante[Quoi ?] de la gravitation quantique, et peut être dérivée d'une forme forte, conjecturée, de cette dernière.

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. a et b (en) Universal upper bound on the entropy-to-energy ratio for bounded systems, Jacob D. Bekenstein, Physical Review, Vol. 23, no 2, (15 janvier 1981), p. 287-298, DOI:10.1103/PhysRevD.23.287, Bibcode : 1981PhRvD..23..287B. (Copie).
  2. (en) Is Information Fundamental ?
  3. a et b (en) How Does the Entropy/Information Bound Work?, Jacob D. Bekenstein, Foundations of Physics, Vol. 35, No. 11 (novembre 2005), p. 1805-1823, DOI:10.1007/s10701-005-7350-7, Bibcode : 2005FoPh...35.1805B. Également sur « quant-ph/0404042 », texte en accès libre, sur arXiv., 7 avril 2004.
  4. a et b (en)Bekenstein bound, Jacob D. Bekenstein, Scholarpedia, Vol. 3, No 10 (31 octobre 2008), p. 7374, DOI:10.4249/scholarpedia.7374.
  5. (en)The structure of the world from pure numbers, Frank J. Tipler, Reports on Progress in Physics, Vol. 68, no 4 (avril 2005), p. 897-964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode : 2005RPPh...68..897T, p. 902. Copie. Également publié sous le titre (en) Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything, « 0704.3276 », texte en accès libre, sur arXiv., 24 avril 2007, p. 8.
  6. (en)Thermodynamics of Spacetime: The Einstein Equation of State, Theodore Jacobson, Physical Review Letters, Vol. 75, No 7 (14 août 1995), p. 1260-1263, DOI:10.1103/PhysRevLett.75.1260, Bibcode : 1995PhRvL..75.1260J. Également disponible sur « gr-qc/9504004 », texte en accès libre, sur arXiv., 4 avril 1995, ici et ici. On le retrouve aussi sous forme de participation lors du concours d'articles 1995 de la Gravity Research Foundation. Copie.
  7. (en)Three Roads to Quantum Gravity, Lee Smolin (New York, N.Y.: Basic Books, 2002), p. 173 et 175, (ISBN 0-465-07836-2), (LCCN 2007310371).
  8. (en) Holography in general space-times, Raphael Bousso, Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, No 6 (juin 1999), Art. No 28, 24 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/06/028, Bibcode : 1999JHEP...06..028B. Copie. Également sur « hep-th/9906022 », texte en accès libre, sur arXiv., 3 juin 1999.
  9. (en) A covariant entropy conjecture, Raphael Bousso, Journal of High Energy Physics, Vol. 1999, No 7 (juillet 1999), Art. No 4, 34 pages, DOI:10.1088/1126-6708/1999/07/004, Bibcode : 1999JHEP...07..004B. Copie. Également sur « hep-th/9905177 », texte en accès libre, sur arXiv., 24 mai 1999.
  10. (en) The holographic principle for general backgrounds, Raphael Bousso, Classical and Quantum Gravity, Vol. 17, No 5 (7 mars 2000), p. 997-1005, DOI:10.1088/0264-9381/17/5/309, Bibcode : 2000CQGra..17..997B. Également sur « hep-th/9911002 », texte en accès libre, sur arXiv., 2 novembre 1999.
  11. (en) Holographic bound from second law of thermodynamics, Jacob D. Bekenstein, Physics Letters, Vol. 481, No 2-4 (25 mai 2000), p. 339-345, DOI:10.1016/S0370-2693(00)00450-0, Bibcode : 2000PhLB..481..339B. Également sur « hep-th/0003058 », texte en accès libre, sur arXiv., 8 mars 2000.
  12. (en) "The holographic principle", Raphael Bousso, Reviews of Modern Physics, Vol. 74, No 3 (juillet 2002), p. 825-874, DOI:10.1103/RevModPhys.74.825, Bibcode : 2002RvMP...74..825B. (en) Copie. Également sur « hep-th/0203101 », texte en accès libre, sur arXiv., 12 mars 2002.
  13. (en) Information in the Holographic Universe: Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram, Jacob D. Bekenstein, Scientific American, Vol. 289, No 2 (août 2003), p. 58-65. (en) Mirror link.
  14. Simple sufficient conditions for the generalized covariant entropy bound, Raphael Bousso, Éanna É. Flanagan et Donald Marolf, Physical Review D, Vol. 68, No 6 (15 septembre 003), Art. No 064001, 7 pages, DOI:10.1103/PhysRevD.68.064001, Bibcode : 2003PhRvD..68f4001B. Également sur « hep-th/0305149 », texte en accès libre, sur arXiv., 19 mai 2003.
  15. (en)Black holes and information theory, Jacob D. Bekenstein, Contemporary Physics, Vol. 45, No 1 (janvier 2004), p. 31-43, DOI:10.1080/00107510310001632523, Bibcode : 2003ConPh..45...31B. Également sur « quant-ph/0311049 », texte en accès libre, sur arXiv., 9 novembre 2003.
  16. (en) The structure of the world from pure numbers, Frank J. Tipler, Reports on Progress in Physics, Vol. 68, No 4 (avril 2005), p. 897-964, DOI:10.1088/0034-4885/68/4/R04, Bibcode : 2005RPPh...68..897T. Copie. Également publié sous le titre Feynman-Weinberg Quantum Gravity and the Extended Standard Model as a Theory of Everything, « 0704.3276 », texte en accès libre, sur arXiv., 24 avril 2007. Tipler donne plusieurs arguments selon lesquels la formulation originelle de Bekenstein est la bonne. Voir en particulier le paragraphe commençant par "A few points...", p. 903 de l'article publié dans Reports on Progress in Physics (ou page 9 de la version dearXiv), et les commentaires sur la limite de Bekenstein qui suivent dans l'article.